முதலில் ஈருறுப்பு விரிவாக்கம் என்பது எவ்வாறு வர்கமூலத்தைக் கண்டறிய உதவுகிறது என்பதைப் பார்த்துவிடுவோம். சென்ற வாரம் ஆர்யபடரின் முறையில் வர்கமூலம் கண்டுபிடித்ததை நினைவில் கொள்ளுங்கள். 67-ன் வர்கம் 4489. 67-ஐ 60+7 என்று எழுதி, அதன் வர்கத்தை விரிவாக்கினால், நமக்குக் கிடைப்பது:
(60+7)^2 = 60^2 + 2(60)(7) + 7^2ஆனால், நாம் மேலே 602 என்பதைக் கழிக்கவில்லை, 62 என்பதைத்தான் கழிக்கிறோம் என்பதை நீங்கள் பார்த்திருப்பீர்கள். ஆனால் உண்மையில் மொத்த எண்ணான 4489-ல் நாம் 602=3600 என்பதைத்தான் கழிக்கிறோம். 36 என்பதற்கு அருகில் இரண்டு இடங்கள் காலியாக உள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள். அங்கே 00 இருப்பதாக எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அதேபோல 2.6.7 என்பதைக் கழிப்பதை 2.60.7 என்பதைக் கழிப்பதாகவே எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும்.
59049 என்பதற்கான வர்கமூலம் 243 என்று பார்த்தோம். இங்கே,
(240+3)^2 = 240^2 + 2(240)(3) + 3^2 = 200^2 + 2(200)(40) + 40^2 + 2(240)(3) + 3^2என்பதை மனத்தில் வைத்துக்கொள்ளுங்கள். இப்போது படிப்படியாக மேலே நாம் என்ன செய்தோம் என்பதைப் பாருங்கள்.
இவ்வாறு, வர்கமூலத்தைக் கண்டுபிடிக்கும் இந்த முறை, கனமூலத்தைக் கண்டுபிடிக்கவும் உதவுகிறது.
நம் பள்ளிக்கூடப் பாடத்திட்டத்தில் கனமூலம் கண்டுபிடிப்பது என்பது இருக்காது. இந்தியாவில் மட்டுமல்ல, உலகெங்கிலும் இதே நிலைதான். ஆனால் ஆர்யபடர் மிக எளிதான வழிமுறையை இதற்குக் கொடுத்துவிடுகிறார். அதுவும் வர்கமூலம் கண்டுபிடிக்க அவர் கொடுத்த வழியை அப்படியே அடியொற்றி உருவாக்கப்பட்டது. முதலில் இதற்குத் தேவை, கீழ்க்கண்ட சமன்பாடு.
(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3(1) கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண்ணை வலமிருந்து இடமாக, மூன்று மூன்று இலக்கங்களாகப் பிரித்துக்கொள்ளுங்கள். இடக்கோடியில் உள்ள பகுதி, ஒன்று, இரண்டு அல்லது மூன்று இலக்கங்களைக் கொண்டதாக இருக்கும்; மற்றவை அனைத்தும் மும்மூன்று இலக்கங்கள்.
(2) இடமிருந்து வலமாகத் தொடங்கவேண்டும். இடதுகோடி எண்ணில் அடங்கக்கூடிய கன எண்ணைத் தேர்ந்தெடுத்துக் கழிக்கவேண்டும். இந்த எண்ணை ‘a’ என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
(3) அடுத்து மேலிருந்து ஒவ்வொரு எண்ணாகக் கீழே கொண்டுவரவேண்டும். இப்போது ‘b’ என்ற எண்ணை ஊகித்து, 3.a2.b என்பதைக் கழிக்கவேண்டும்.
(4) அடுத்தடுத்து, மேலிருந்து இரண்டாம், மூன்றாம் எண்களைக் கீழே எழுதி, 3.a.b2 என்பதையும் b3 என்பதையும் கழிக்கவேண்டும்.
(5) அவ்வாறு கழிக்கும்போதும் அதற்கடுத்த கழித்தல்களைச் செய்யும்போதும் எதிர் எண்கள் (negative) வரக்கூடாது. அப்படி வர நேர்ந்தால், b-க்கான ஊகத்திலிருந்து ஒன்றைக் குறைத்துக்கொண்டு மேலே செய்த அனைத்தையும் மீண்டும் செய்யவேண்டும்.
இப்போது 79507 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொண்டு, இதற்கான கனமூலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
சற்றே பெரிய எண்ணான 385828352 என்பதை எடுத்துக்கொண்டு, இதற்கான கனமூலத்தைக் கணக்கிடுவோம்.
சிக்கல் வரக்கூடிய ஒரு கணக்கைப் பார்த்துவிடுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, 13144256 என்ற எண்ணின் கனமூலத்தைக் கண்டுபிடிக்க முற்படுவோம்.
இதனைக் காணொளியாகப் பார்ப்போம்.
அருமை அல்லவா? இதை முதலில் படித்துப்புரிந்துகொண்டபோது நான் அடைந்த மகிழ்ச்சிக்கு அளவே இல்லை. ஆர்யபடர் இத்துடன் முடித்துவிட்டு அடுத்த பாடத்துக்குச் சென்றுவிடுகிறார். ஆனால் நான் இதே அல்காரிதத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு 5-ம் மூலம், 7-ம் மூலம் போன்றவற்றைச் செய்துபார்த்தேன்.
5-ம் மூலம் வேண்டும் என்றால் நமக்குத் தேவை
(a+b)^5 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5இதை ஒரு சவாலாக எடுத்துக்கொண்டு நீங்களே செய்துபாருங்களேன். 83841135993 என்னும் எண்ணுக்கான 5-ம் மூலம் என்ன என்பதை?
(தொடரும்)
படித்துப்புரிந்துகொண்டபோது நான் அடைந்த மகிழ்ச்சிக்கும் அளவே இல்லை. சில நாட்கள் தூங்காமல் அலைவேன்.
நம் நாட்டில் உள்ள அறிவியல் கணித
கோட்பாடுகள் எத்தனை சிறப்பு