ஆர்யபடீயத்தில் உள்ள வரிசையைச் சற்றே மாற்றிக்கொடுப்பதாகச் சொல்லியிருந்தேன். கனமூலம் வரையிலானது, கணித பாதத்தில் முதல் ஐந்து பாக்கள் மட்டுமே. ஆறு முதல் பதினெட்டு, வடிவகணிதம் (Geometry, Mensuration), கோணவியல் (Trigonometry) போன்றவை. இவற்றை அல்ஜீப்ரா பகுதிகளை முடித்துவிட்டு இறுதியில் பார்ப்போம். பத்தொன்பதாம் பா, கூட்டுத்தொடர் பற்றிப் பேசுகிறது.
ஆர்யபடர், சூத்திர வடிவில் எழுதுவதால், விரிவான வரையறை என்று தொடங்குவதில்லை. நேராக ஒரு சமன்பாடு, அடுத்து அடுத்த சமன்பாடு. இப்படியே தாவித் தாவிச் செல்கிறார். இங்குதான் நமக்கு உரையாசிரியர்களின் உதவி தேவைப்படுகிறது. ஈரடிப் பா ஒன்றில் கூட்டுத் தொடர் குறித்த ஐந்து சமன்பாடுகளை ஆர்யபடர் தருகிறார். கூட்டுத் தொடர்பற்றி கிரேக்க கணிதத்தில் வருகிறது. சீனர்கள் இதனைப் படித்துள்ளனர். இந்தியப் பாரம்பரியத்தில் ஆர்யபடருக்குப் பல நூற்றாண்டுகள் முன்னமேயே கூட்டுத் தொடர் குறித்துக் குறிப்புகள் உள்ளன. ஆனால், ஆர்யபடர், அங்கிருந்து இரண்டடி தாவிச்செல்கிறார். அதனை விரைவில் காண இருக்கிறோம்.
முதலில் கூட்டுத் தொடர் என்றால் என்ன என்பதைப் பார்த்துவிடுவோம்.
0, 5, 10, 15, 20… என்று தொடரும் எண் வரிசையை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். முந்தைய எண்ணுடன் ஐந்தைக் கூட்டினால் அடுத்த எண் வரும். வரிசையில் அடுத்தடுத்த இரு எண்களுக்கு இடையில் உள்ள வித்தியாசம் மாறாமல் இருக்கும். இதற்குப் ‘பொது வித்தியாசம்’ என்று பெயர். முந்தைய எண்ணுடன் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டிக் கூட்டி அடுத்தடுத்த எண்களை உருவாக்குவதால் இதற்குக் கூட்டுத் தொடர் வரிசை என்ற பெயர் வருகிறது.
உரையாசிரியர் பாஸ்கரர் இந்தவகைக் கணக்குகளுக்கு ஸ்ரேடீகணிதம் என்று பெயர் தருகிறார்.
1, 3, 5, 7…
1, 4, 7, 10…
13, 18, 23, 28…
2, 9, 16, 23…
மேலே உள்ள அனைத்துமே கூட்டுத்தொடர்கள் ஆகும்.
தொடரின் முதல் எண் a. தொடரின் பொது வித்தியாசம் d. தொடரில் இத்தனை உறுப்புகள் (n) என்பதைக் கொடுத்துவிடுவோம். இப்படியான தொடர் ஒன்றை உங்களுக்குக் கொடுத்தால் நீங்கள் எதையெல்லாம் கணக்கிடலாம்?
கூட்டுத் தொடரில், குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அவற்றின் சராசரியைக் கணக்கிடலாம்.
இந்தச் சராசரிக்கு ஆர்யபடர் தரும் பெயர் ‘சமுக மத்யம்’. அதற்கு அவர் தரும் சமன்பாடு:
m = a + \frac{n-1}{2} dஇதனை அடிப்படையாகக்கொண்டு, இந்தக் கூட்டுத் தொடரின் n உறுப்புகளைக் கூட்டினால் வரும் கூட்டுத்தொகையை (S) எழுதிவிடலாம்.
S = n \left[ a + \frac{n-1}{2} d \right]முதல் உறுப்பும் பொது வித்தியாசமும் தெரிந்தால், எத்தனையாவது உறுப்பை வேண்டுமானாலும் உடனே கொடுத்துவிடலாம்.
a_p = a +(p-1) dஒரு கூட்டுத்தொடரில் முதலிருந்து இல்லாமல், p உறுப்புகள் தாண்டி, அடுத்த n உறுப்புகளைக் கூட்டினால் வரும் கூட்டுத்தொகை இது:
S = n \left[ a + \left[\frac{n-1}{2} +p \right] d \right]கூட்டுத்தொடரில் முதல் உறுப்பு (a), கடைசி உறுப்பு (L) இரண்டையும் கொடுத்து, அந்தத் தொடரில் n உறுப்புகள் உள்ளன என்பதையும் கொடுத்துவிட்டால், கூட்டுத்தொகையை எளிதில் சொல்லிவிடலாம்:
S = (a+L)\frac{n}{2}இவை அனைத்தையும் இன்று நாம் பள்ளிக்கூடத்தில் படிக்கிறோம். நீங்கள் எந்தப் பாடத்திட்டத்தில் படிக்கிறீர்கள் என்பதைப் பொருத்து, இவற்றைத் தருவித்திருப்பார்கள் அல்லது வெறும் சமன்பாடுகளாகக் கொடுத்து, மனப்பாடம் செய்யச் சொல்லியிருப்பார்கள்.
அடுத்த பாவில், சற்றே கடினமான கணக்கைக் கையாளுகிறார் ஆர்யபடர். ஒரு கூட்டுத் தொடரில் முதல் உறுப்பையும் (a) பொது வித்தியாசத்தையும் (d) கொடுத்தாயிற்று. அதன் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை S என்பதையும் கொடுத்தாயிற்று. இப்போது n-ஐ எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள இரண்டாவது சமன்பாட்டில் n-ஐத்தவிர மீதி எல்லாம் தெரியும் என்றால் n-ஐக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதுதான் கேள்வி. இதற்கான நேரடி விடையை ஆர்யபடர் கொடுக்கிறார்.
எழுத்துவடிவில் அது இவ்வாறு செல்கிறது: “தொடரின் கூட்டுத்தொகையை 8-ஆல் பெருக்கி பொது வித்தியாசத்தால் பெருக்கவும். அத்துடன் முதல் உறுப்பை இரண்டால் பெருக்கி, அதில் பொது வித்தியாசத்தைக் கழித்து வரும் தொகையின் வர்கத்தைக் கூட்டவும். இந்தத் தொகையின் வர்கமூலத்தை எடுக்கவும். இதிலிருந்து முதல் உறுப்பை இரண்டால் பெருக்கிய தொகையைக் கழிக்கவும். கிடைக்கும் தொகையை பொது வித்தியாசத்தால் வகுக்கவும். கிடைப்பதுடன் 1-ஐக் கூட்டவும். கிடைப்பதை 2-ஆல் வகுக்கவும்.”
இம்மாதிரி எழுத்துவடிவில் உள்ளதை இன்றைய காலக் கணிதச் சமன்பாடாக மாற்றினால் நமக்குக் கிடைப்பது இது:
n = \frac{1}{2} \left[
\frac{\sqrt{8dS+(2a-d)^2}-2a}{d} + 1\right]
இன்றைய கணித மாணவருக்கு இதுகூட அவ்வளவு கடினம் கிடையாது. மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள இரண்டாவது சமன்பாட்டை விரித்து எழுதினால் நமக்குக் கிடைப்பது இது:
dn^2 + (2a-d)n - 2S = 0
இது n-இன் இருபடிச் சமன்பாடாக (quadratic equation) அமையும். இதன் விடையை எழுதும்போது, அது நேர் எண்ணாக (positive) இருக்கவேண்டும் என்பதை மட்டும் ஞாபகம் வைத்துக்கொள்ளுங்கள். எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் விடைகளில் நேர் எண் வருவதை (+) மட்டும் எடுத்துக்கொண்டு, உடனடியாக விடையை எழுதிவிடலாம்:
n = \frac {-(2a-d) + \sqrt{(2a-d)^2 + 8dS}}{2d}
ஆர்யபடர் கொடுத்திருப்பதும் இதுவும் ஒன்றுதான். சற்றே மாற்றி அமைக்கவேண்டும். அவ்வளவே.
ஆர்யபடர் இதனைக் கொடுத்திருப்பதால் அவருக்கு இருபடிச் சமன்பாட்டின் விடை, வெளிப்படையான சமன்பாடாகத் தெரிந்திருந்தது என்ற கருத்துக்கு நாம் வரவேண்டியிருக்கிறது. ஆனால் அவர் அதனைத் தன் நூலில் வெளிப்படையாக எங்கும் கொடுக்கவில்லை. அடுத்த நூற்றாண்டில் வந்த பிரம்மகுப்தர்தான் இதனை வெளிப்படையான ஃபார்முலாவாகத் தருகிறார். ஆர்யபடருக்குமுன் இந்தியர்கள் மட்டுமின்றி கிரேக்கர்கள், எகிப்தியர்கள், சுமேரியர்கள், சீனர்கள் ஆகியோரும் இருபடிச் சமன்பாட்டை அறிந்திருந்தனர். ஆனால் அவர்கள் அதற்கான விடையை ஒரு முழுமையான சமன்பாடாகத் தந்ததில்லை. விடை கண்டுபிடிப்பதற்கான பல படிகள் கொண்ட ஒரு வழிமுறையாக மட்டுமே கொடுத்திருந்தார்கள்.
பாஸ்கரரின் உரையைப் பற்றி இங்கே சிறு குறிப்பு கொடுத்துவிடுகிறேன். அவரது உரையில் ஆர்யபடரின் வார்த்தைகளின் நீண்ட நெடிய விளக்கம் வருகிறது. ஆர்யபடரின் வார்த்தைகளுக்கான பொருளை எப்படி எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும், எவ்வாறு எடுத்துக்கொள்ளக்கூடாது என்று பல்வேறு இலக்கண, காவிய, தர்ம சாத்திர நூல்களின் துணையோடு விளக்குகிறார். உபபத்தி எனப்படும் நிரூபணங்கள், சமன்பாட்டைத் தருவித்தல் ஆகியவை கிடையாது. ஆனால் சில இடங்களில் இந்தச் சமன்பாடுகள் எவ்வாறு வந்திருக்கலாம் என்பதைக் கோடி காட்டுகிறார். ‘அரை நிரூபணம்’ என்று வேண்டுமானால் அவற்றை எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஆனால் மிக முக்கியமாக எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைச் செய்துகாண்பிக்கிறார். உதாரணமாக, கூட்டுத் தொடரில் பாஸ்கரர் தரும் ஓர் எடுத்துக்காட்டுக் கணக்கைப் பார்ப்போம்.
“ஒரு தொடரில் முதல் உறுப்பு 7. பொது வித்தியாசம் 11. தொடரில் உள்ள மொத்த உறுப்புகள் 25. விரைவாக, தொடரின் கடைசி இரண்டு உறுப்புகளைத் தருக. மொத்த உறுப்புகள் 20 என்றால், இறுதி உறுப்பைச் சொல்லுக.”
இந்தக் கணக்கைக் கொடுத்துவிட்டு, இதன் விடையையும் ஒவ்வொரு படியாகக் கணக்கிட்டுக் காண்பிக்கிறார் பாஸ்கரர்.
அடுத்து, கொஞ்சம் நடைமுறையிலான ஒரு கணக்கைத் தருகிறார்.
“அரசர் ஒருவர் கார்த்திகை மாதத்தில் முதல் நாள் இரண்டு (பணம்) தானமாகத் தருகிறார். அடுத்தடுத்த நாள்களில், முந்தைய நாளைவிட மூன்று (பணம்) அதிகமாகத் தருகிறார். பதினைந்து நாள்கள் ஆனபின் கற்றறிந்த பிராமணர் ஒருவர் வருகிறார். அவருக்குப் பத்து நாள்கள் அரசர் தானம் தருகிறார். பிந்தைய ஐந்து நாள்கள் வேறு ஒருவருக்குத் தருகிறார். இவ்விருவருக்கும் தரப்பட்ட தானம் எத்தனை?”
இப்படி, குறிப்பிட்ட பாடம் தொடர்பான விளக்கங்களுக்குப் பிறகு, சமன்பாடுகளைத் தெளிவாகக் கொடுத்தபின், பல்வேறு கணக்குகளைக் கொடுத்து, அவற்றைப் படிப்படியாகத் தீர்த்தும் வைத்து வழிகாட்டக்கூடிய துணைவனாக இருக்கிறது பாஸ்கரரின் உரை.
இந்தக் கூட்டுத்தொடரில் முதல் உறுப்பு 1, பொது வித்தியாசம் 1 என்பது ஒரு சிறப்புத் தொடர். அப்படிப்பட்ட தொடரானது, 1, 2, 3, 4 என்று செல்லும்.
இந்தத் தொடரை ஆர்யபடர் ‘ஏகோத்தராதி உபசிதி’ என்று அழைக்கிறார். இதன் நேரடித் தமிழாக்கம், ‘முதலும் வித்தியாசமும் ஒன்று என்ற எண்ணாக உள்ள தொடர்’ எனலாம்.
மேலே உள்ள தொடரின் கூட்டுத்தொகைச் சமன்பாட்டை எடுத்து, அதில் a=d=1 என்பதைப் பொருத்தினால்
1+2+3+ \cdot + n = S_n = \frac{n(n+1)}{2}
என்பது கிடைக்கும். ஆர்யபடர், இதனை வெளிப்படையாகச் சொல்வதில்லை. இதனைக் குறிப்பால் உணர்த்திவிட்டு, அடுத்த கட்டத்துக்குச் செல்கிறார். அடுத்து இதனைப் பார்ப்போம்.
(தொடரும்)
மிக நல்ல, பயனுள்ள தொடர், நமது கணித பாரம்பரியம் ஆச்சர்யமாக உள்ளது…. ஒரு சிறு வேண்டுகொள் – வர்க மூலம் போல இதில் வரும் சமன்பாட்டை எப்படி வந்தது என்பதை சற்று விளக்கமாக விவரிக்கவும்.
இதில் கடைசி சமன்பாட்டைத் தருவித்திருந்தேன். மற்றவற்றைச் செய்யவில்லை. உங்கள் ஆலோசனையை ஏற்று, வீடியோவாகவே இவற்றைச் சேர்க்கிறேன்.