பள்ளிக்கூடத்தில் நாம் 1+2+3+ … + n என்பதற்கான சமன்பாட்டைப் பார்த்திருப்போம். மனப்பாடமும் செய்திருப்போம். இதனைத் தருவிப்பது எளிது.
இதன் விடை S என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
S = 1 +2 +3 + \cdots + nஇந்தத் தொடரின் உறுப்புகளைக் கடைசியிலிருந்து முதலாக மாற்றியும் எழுதலாம்.
S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1இப்போது, மேலே உள்ள இரண்டு தொடர்களையும் கூட்டினால், நமக்குக் கிடைப்பது இது:
2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1) = n(n+1)எனவே,
S = \frac{n(n+1)}{2}பள்ளிக்கூடத்தில் நீங்கள் இந்தத் தொடர்களையும் பார்த்திருப்பீர்கள்:
1^2+2^2+3^2+ \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 1^3+2^3+3^3+ \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2பொதுவாக இந்தச் சமன்பாடுகளுக்கான நிரூபணங்களைப் பள்ளிக்கூடப் புத்தகத்தில் கொடுத்திருக்கமாட்டார்கள். ஆனால் அவை அவ்வளவு கடினமல்ல. இங்கே அவற்றைப் பார்த்துவிடுவோம். இங்கும் ஈருறுப்பு விரிவாக்கத்திலிருந்துதான் தொடங்கவேண்டும்.
n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2-2n+1) = 2n-1இதை அப்படியே தொடர்ந்தால்,
(n-1)^2 - (n-2)^2 = (n^2-2n+1) - (n^2-4n+4) = 2n-3 = 2(n-1) - 1இப்படியே இறுதிவரை சென்றால்,
2^2 - 1^2 = 2(2) - 1 1^2 - 0^2 = 2(1) - 1இப்போது, இடம், வலம் இரண்டு பக்கங்களையும் கூட்டினால் நமக்குக் கிடைப்பது:
n^2 - 0^2 = 2(n+(n-1)+(n-2)+ \cdots + 2+1) - n = 2(S)-n
இதனை மாற்றி எழுதினால்,
அல்லது,
S = \frac{n+n^2}{2} = \frac{n(n+1)}{2}இதை நாம் வேறு எளிய வழியில் ஏற்கெனவே தருவித்திருந்தாலும், இந்த வழி முக்கியமானது. ஏனெனில், இதிலிருந்துதான் அடுத்தடுத்த சமன்பாடுகளைத் தருவிக்க முடியும்.
n^3 - (n-1)^3 = n^3 - (n^3-3n^2+3n-1) = 3n^2-3n+1 (n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-1)^2-3(n-1)+1இப்படியே இறுதிவரை சென்றால்,
2^3 - 1^3 = 3(2^2)-3(2)+1
1^3 - 0^3 = 3(1^2)-3(1)+1
அல்லது,
n^3 = 3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)-3(1+2+3+\cdots+n)+nஇதில் நமக்குத் தெரியாதது, 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = S
இதனைப் பொருத்தினால்,
அல்லது,
3S = n^3 + 3 \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{n(2n^2+3n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}எனவே,
S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}இதே முறையைப் பயன்படுத்தி, இயல் எண்களின் கனங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்கலாம். அதற்கு அடுத்த படிகளின் (நான்கு, ஐந்து) கூட்டுத்தொகையையும் கண்டுபிடிக்கலாம். ஆர்யபடர் என்ன செய்தார் என்று நமக்குத் தெரியாது. எப்படி இந்தச் சமன்பாடுகளை வந்தடைந்தார் என்பது நமக்குத் தெரியாது. பாஸ்கரரும் இவற்றை விளக்குவதில்லை. ஆனால் ஏதோ ஒருவிதத்தில் ஈருறுப்பு விரிவாக்கத்தை அவர் பயன்படுத்தியிருக்கவேண்டும்.
ஆர்யபடர், வர்கங்களின் கூட்டுத்தொகையை ‘வர்கசிதிகன’ (वर्गचितिघन) என்றும் கனங்களின் கூட்டுத்தொகையை ‘கனசிதிகன’ (घनचितिघन) என்றும் அழைக்கிறார். நமக்குக் கிடைத்துள்ள வரலாற்றுத் தரவுகளின்படி, 1+2+3… என்பதன் கூட்டுத்தொகை ஆர்யபடருக்கு முன்பே இருந்தாலும், வர்க, கனக் கூட்டுத்தொகைக்கான சமன்பாடுகள் முதல்முதலில் காணக் கிடைப்பது ஆர்யபடீயத்தில்தான். இதற்கு அடுத்து, அபு அலி அல்ஹசன் இப்னு அல்ஹசன் இப்னு அல்ஹைதம் என்ற பத்தாம் நூற்றாண்டு இஸ்லாமிய கணித நிபுணர், எண்களின் நான்காம் படிக்கான கூட்டுத்தொகைக்கான சமன்பாட்டைத் தருவிக்கிறார்.
பதினேழாம் நூற்றாண்டில் பியர் டி ஃபெர்மாவும் பின்னர் யாக்கோப் பெர்னோலியும் இந்தக் கணக்குகளை ஆராய்ந்தனர். அக்கட்டத்தில் அவர்களிடம் இந்த ஆராய்ச்சிகளை எடுத்துச் செல்ல பல திறன்மிக்க கருவிகள் இருந்தன. முக்கியமாக, பெர்னோலி இச்செயலில் ஈடுபடும்போது, பெர்னோலி எண்கள் எனப்படும் சுவாரசியமான எண்கள் கிடைத்தன. இவை குறித்து நாம் இந்தத் தொடரில் பார்க்கமுடியாது என்பது வருத்தமே.
ஆர்யபடர், வேறு ஒரு தொடரைக் குறித்தும் பேசுகிறார். அதற்கு அவர் சிதிகன (चितिघन) என்ற பெயரைத் தருகிறார். அதன்பிறகுதான் வர்கசிதிகன, கனசிதிகன ஆகியவற்றைப் பேசுகிறார். முதலில் இது என்ன என்று பார்த்துவிடுவோம்.
S = 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + \cdotsசென்ற வாரம் நாம் பார்த்த 1+2+3+ …+ n என்ற தொடரை ஆர்யபடர், ஏகோத்தராதி உபசிதி (एकोत्तरादि उपचिति) என்று அழைத்தார் என்று பார்த்தோம். பாஸ்கரர், இதனை சங்கலனா என்கிறார். அதை அப்படியே பின்பற்றி, மேலே உள்ள தொடரை, சிதிகனத்தை, சங்கலனா-சங்கலனா என்கிறார். கூட்டல்களின் கூட்டல். ஆர்யபடர், இதற்கான சமன்பாட்டை இவ்வாறு தருகிறார்:
S = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{(n+1)^3 - (n+1)}{6}இது மிகவும் நுட்பமான நிரூபணம். இதை எப்படித் தருவிப்பது என்பதை ‘வீட்டுப் பாடமாக’ செய்துபாருங்கள்.
வர்கம், கனம் ஆகியவற்றை ஆர்யபடர் எவ்வாறு இயல்கணிதத்தையும் வடிவத்தையும் இணைத்துக் காண்பித்தாரோ, அவ்வாறே இங்கும் செய்கிறார். கீழே உள்ள படத்தில் முதலில் நாம் காண்பது சிதிகனம். அடுத்து வர்கசிதிகனம். கடைசியாக கனசிதிகனம். இதற்கும் அடுத்த படிகளின் கூட்டலைப் படமாகக் காண்பிக்க இயலாது.
இவற்றில் முதலாவதாக நாம் பார்க்கும் முக்கோணக் குவியலின் கூட்டலைப் போலவே முப்பரிமாணப் பிரமிடு எண்களின் கூட்டலையும் நாம் முன்வைக்கலாம். ஆனால் ஆர்யபடர் அதனைத் தருவதில்லை.
அடுத்ததாக, ஆர்யபடர், சில இயல்கணிதச் சமன்பாடுகளைக் கையாளும் முறையைப் பார்ப்போம். பிரம்மகுப்தர் நிறைய எழுதியிருப்பதாலும், விரிவாக எழுதியிருப்பதாலும், இயல்கணிதத்தில் (அல்ஜீப்ராவில்) மிகச் சிறந்த விற்பன்னர் என்று அவரைச் சொல்வார்கள். ஆனால் ஆர்யபடர், ஒரு நூற்றாண்டுக்கு முன்னதாகவே பல நுட்பமான விஷயங்களை இதில் செய்துகாண்பித்துவிட்டார்.
(தொடரும்)
