இதுவரையில் நாம் கண்டது முழு எண்களை எவ்வாறு கையாள்வது என்று. அவற்றைக் கூட்டலாம், கழிக்கலாம், பெருக்கலாம். வர்கம், கனம், வர்கமூலம், கனமூலம் ஆகியவற்றைக் கணிக்கலாம்.
வர்கமூலம், கனமூலம் ஆகியவை குறித்துப் பேசும்போது முழுவர்க எண்கள், முழுகண எண்கள் ஆகியவற்றை மட்டுமே நாம் கையாண்டோம். வர்கமூலம் எடுப்பது என்றால் 4, 9, 16, 25 போன்ற எண்களுக்கு. ஆனால் 2, 3, 5 என்று செல்லும் எண்களின் வர்கமூலம் என்ன? அதேபோல, 8, 27, 64, 125 போன்ற எண்கள் தவிர்த்த பிற எண்களின் கனமூலம் யாது?
இவற்றைக் கையாள, பின்னங்கள் பற்றிய புரிதல் நமக்கு அவசியம். உண்மையில், வர்கமூலம், கனமூலம் ஆகியவை பற்றிச் சொல்லிக்கொடுத்தவுடனேயே பின்னங்களை நான் கையில் எடுத்திருக்கலாம்.
ஆர்யபடர் பின்னங்களைத் தனியாகத் தொடாமல், த்ரைராஶிகம் என்னும் விகிதாசாரக் கணக்குகளை ஒட்டி, பின்னங்கள் குறித்த இரண்டு கருத்துகளை மட்டும் கொடுக்கிறார். ஒரு பின்னத்தை இன்னொரு பின்னத்தால் வகுக்கவேண்டும் என்றால் என்ன செய்வது? இரு பின்னங்களைக் கூட்ட அல்லது கழிக்கவேண்டும், ஆனால் இரண்டின் விகுதியும் வெவ்வேறு என்றால் என்ன செய்வது?
இந்தியக் கணிதத்தின் வேதகால சுல்ப சூத்திரங்களிலேயே பின்னங்கள் பயன்பாட்டில் இருந்துவந்துள்ளன. முழு எண்கள், பின்னங்கள் ஆகிய இரண்டையும் சேர்த்தால் எண்கள் முற்றுப்பெற்றுவிடுவதாகவே இந்தியர்கள் நினைத்துவந்தனர். பின்னங்கள் என்பவற்றை நாம் இன்று விகிதமுறு எண்கள் என்று சொல்கிறோம். விகிதமுறு எண்கள் என்றால் அந்த எண்களை a/b என்று ஒன்றின்கீழ் ஒன்றாக, முழு எண்களின் வகுத்தலாகக் குறிக்கலாம். பின்னம் என்பதற்கு ‘குறைபட்டது’ என்று பொருள். b என்பதன் ஒரு குறிப்பிட்ட, குறைபட்ட பாகம் மட்டுமே a, என்ற பொருளில் இது சொல்லப்பட்டது.
விகிதமுறு எண்கள் என்றால் இந்த எண்களை இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாகச் சொல்லலாம் என்னும் வரையறையிலிருந்து வருகிறது. மாறாக 2-ன் வர்கமூலத்தை அப்படி a/b என்று எழுதமுடியாது. கிரேக்கரான பித்தாகோரஸும் அவரது சீடர்களும் (பொயுமு 6-ம் நூற்றாண்டு) இதனைக் கண்டுபிடிக்கிறார்கள். இது அவர்களுக்குப் பெரும் அதிர்ச்சியைக் கொடுக்கிறது. அப்படிப்பட்ட எண்களும் இருக்கக்கூடுமா என்ன என்று! இதுபோன்ற எண்களைத்தான் நாம் இன்று விகிதமுறா எண்கள் என்று அழைக்கிறோம்.
இந்தியர்கள் இறுதிவரை விகிதமுறா எண்கள் குறித்துக் கவலைப்படவில்லை. 2-ன் வர்கமூலம், பை போன்ற எண்களுக்கு, அவற்றின் தோராய மதிப்பைப் பின்னமாக (விகிதமுறு எண்ணாக) எழுதிப் பயன்படுத்திக்கொண்டனர். அதே நேரம் விகிதமுறா எண்களை அவர்கள் கணக்குகளில் பயன்படுத்திக்கொள்ளவும் செய்தனர். உதாரணமாக, பை என்பதற்கு பத்தின் வர்கமூலம் தோராயமாக ஒத்துவரும் என்று பயன்படுத்தினர்.
ஆர்யபடர், பின்னங்கள் குறித்து ஒரே பாவில் (27) வகுத்தல், கூட்டல்/கழித்தல் ஆகியவை குறித்துச் சொல்கிறார். பாவின் முதல் பகுதி இது: இரு பின்னங்கள், a/b மற்றும் c/d ஆகியவை இருந்தால் முதலாவதை இரண்டாவதால் வகுக்கவேண்டும் என்றால், மாற்றிப்போட்டு பெருக்கவும். அதாவது,
\frac{\left(\frac{a}{b}\right)}{\left(\frac{c}{d}\right)} = \frac{a}{b} \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}பாவின் இரண்டாவது பகுதி, விகுதிகளான b, d இரண்டும் வெவ்வேறாக இருக்கும்போது, a/b-யுடன் c/d-ஐக் கூட்டுவது அல்லது முந்தையதிலிருந்து பிந்தையதைக் கழிப்பது ஆகியவற்றைப் பேசுகிறது. இரண்டு பின்னங்களுக்கும் ஒரே விகுதியைக் கொண்டுவருவதுதான் நோக்கம். இதில் உட்கிடையாக இருப்பது, ஒரு பின்னத்தின் பகுதி (Numerator), விகுதி (Denominator) இரண்டையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால் அல்லது வகுத்தால் அந்த பின்னத்தின் மதிப்பில் மாற்றம் ஏற்படுவதில்லை என்பதே.
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad+bc}{bd} \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}உரையாசிரியர் பாஸ்கரர் மூன்று கணக்குகளைக் கொடுத்து அவற்றைச் செய்துகாட்டுகிறார். முதலாவது,
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4}பொறுமையாக, முதல் இரண்டைக் கூட்டி, வரும் விடையைச் சுருக்கி (மேலும் கீழும் உள்ள எண்களின் பொதுக் காரணியை வகுத்து விலக்கி), பிறகு அதனை மூன்றாவது எண்ணுடன் கூட்டி, இதே முறையைத் தொடர்கிறார். இறுதி விடை 1. நான்கு பின்னங்களையும் ஒரேயடியாகக் கூட்டியிருக்கலாம். இன்று பள்ளியில் நாம் அதனைத்தான் சொல்லித் தருகிறோம். ஆனால் எடுத்துக்காட்டுக்காக அவர் இரண்டு இரண்டாகக் கூட்டுகிறார்.
அடுத்த முக்கியமான விஷயம், இந்தியர்கள் எண்களைக் காரணிகளாகப் பகுத்து அவற்றைக் கொண்டு கணக்குகள் செய்ததே கிடையாது. எனவே அவர்களுக்குப் பகு எண்கள் (Composite number), பகா எண்கள் (Prime number) போன்றவை தெரியாது. அதனால் மீச்சிறு பொது மடங்கு (Lowest Common Multiple – LCM), மீப்பெரு பொதுக் காரணி (Highest Common Factor – HCF) போன்றவை புழக்கத்தில் இல்லை. எனவே இரு பின்னங்களின் விகுதிகள் வேறு வேறாக இருக்கும்போது, விகுதியாக மீச்சிறு பொது மடங்கைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை ஆர்யபடர் குறிப்பிடுவதில்லை. மாறாக விகுதிகளின் பெருக்குத் தொகையைத்தான் அவர் முன்வைக்கிறார்.
மேலே 2, 3, 5 போன்ற எண்களின் வர்கமூலம் பற்றிக் குறிப்பித்திருந்தேன். ஆர்யபடரும் பாஸ்கரரும் இவைகுறித்துப் பேசுவதில்லை. ஆனால் பின்னர் வரும் கணிஞர்கள், 2 என்பதை 200/100, 20000/10000 என்று எழுதி, பகுதி, விகுதி இரண்டின் வர்கமூலத்தையும் தனித்தனியாக கணக்கிட்டு, தோராயமான விடையைக் கண்டறியலாம் என்று சொல்லியுள்ளார்கள். உதாரணமாக, 10000-ன் வர்கமூலம் 100. ஆனால் 20000 ஒரு வர்க எண் அல்ல. அதன் வர்கமூலத்தைக் கண்டறியும்போது மிக நெருக்கமான விடை 141 என்று வரும். எனவே
\sqrt{2} = \sqrt{\frac{20000}{10000}} \approx \frac{141}{100}இது ஒரு வழிமுறைதான். இதைவிடப் பல சிறந்த வழிமுறைகளை இந்தியர்கள் பயன்படுத்தினர். சுல்பசூத்திரத்தில் 2-ன் வர்கமூலம் (சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டுபிடிக்கத் தேவையானது) இவ்வாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:
\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 34}இது (577/408), கிட்டத்தட்ட 99.999985% துல்லியமான விடை. 2-ன் வர்கமூலம் என்ற விகிதமுறா எண்ணின் மிக நெருங்கிய விகிதமுறு எண்ணான இதனை சுல்பசூத்திரம் எப்படிக் கண்டுபிடித்தது என்பதனை இன்னொரு நேரத்தில் பார்ப்போம்.
இப்போது பின்னங்களைக் கையாள்வதைத் தெரிந்துகொண்டுவிட்டோம். இதிலிருந்து ‘மூன்றின் விதி’ எனப்படும் த்ரைராஶிகம் என்பதனை – விகிதாசாரக் கணக்குகளை – அடுத்து பார்ப்போம். ஆர்யபட்டர் என்ன சொல்கிறார், உரையாசிரியர் இதனை எவ்வாறு நீட்டித்துச் செல்கிறார் என்பதனையும் பார்ப்போம்.
(தொடரும்)
