“ஐந்து மாம்பழங்களின் விலை 12 ரூபாய் என்றால், பத்து மாம்பழங்கள் என்ன விலை?”
தொடக்கப் பள்ளியிலிருந்தே இதுபோன்ற கணக்குகள் நம் பாடப் புத்தகங்களில் வந்துவிடும். இவற்றை நாம் விகிதாசாரக் கணக்குகள் என்று அழைப்போம். ஆங்கிலத்தில் Ratio and Proportion Problems என்போம்.
இதைத்தான் ஆர்யபடர் 26-வது பாவில் தருகிறார். ஆர்யபடர், இவற்றுக்கு, இச்சை, பழம் (அல்லது பலன்), பிரமாணம் என்ற பெயர்களைத் தருகிறார். ஐந்து மாம்பழங்கள் விலை 12 ரூபாய் என்றால், பத்து மாம்பழங்களின் விலை என்ன? இந்தக் கணக்கில், பத்து என்பது இச்சை – அதாவது நமக்கு வேண்டியது. பலன்/பழம் என்பது 12 ரூபாய். பிரமாணம் ஐந்து. இச்சையைப் பலனால் பெருக்கி, பிரமாணத்தால் வகுத்தால் கிடைப்பது ‘இச்சாபலன்’, அதாவது நாம் எதிர்பார்க்கும் விடை.
இந்த நான்கையும் a, b, c, x என்று வைத்துக்கொள்வோம். a:b = c:x என்றால்,
\frac{a}{b} = \frac{c}{x}எனவே,
x= \frac{cb}{a}இதற்குமேல் ஆர்யபடர் ஒன்றும் சொல்லவில்லை என்றாலும், உரையாசிரியர் பாஸ்கரர் இந்தப் பகுதிக்கு என்று நிறைய நேரத்தையும் பக்கங்களையும் செலவிடுகிறார். “மூன்றின் விதி என்பதை மட்டும்தான் பேராசிரியர் (ஆர்யபடர்) கொடுக்கிறார். ஆனால் அது ஐந்தின் விதி, ஏழின் விதி, ஒன்பதின் விதி ஆகிய அனைத்துக்கும் பிறப்பிடமாக இருக்கிறது” என்கிறார் பாஸ்கரர். மூன்றின் விதியை இரண்டுமுறை பயன்படுத்தினால் ஐந்தின் விதி, மூன்றுமுறை பயன்படுத்தினால் ஏழின் விதி போன்றவை வெளிப்படும் என்கிறார். நிறைய எடுத்துக்காட்டுகளையும் தருகிறார்.
முதலில் எளிமையான எடுத்துக்காட்டு. “ஐந்து எடை சந்தனக் கட்டைகள் ஒன்பது ரூபகங்களுக்குக் கிடைக்கும் என்றால், ஒரு ரூபகத்துக்கு எத்தனை எடை சந்தனக் கட்டைகள் கிடைக்கும்?”
விடை: (5 * 1)/9 எடை.
அடுத்தும் மூன்றின் விதிதான். ஆனால் இப்போது பின்னங்கள் விளையாடுகின்றன. “ஒரு பாரம் இஞ்சி 10 1/5 ரூபகம் என்றால் 100 1/2 பாரம் இஞ்சி என்ன விலை?”
விடை: (100 1/2 * 10 1/5) / 1 = 1025 1/10
அடுத்து இரண்டு மூன்று விஷயங்களை ஒன்றாகச் சேர்த்துச் சில கணக்குகள். “ஐந்து வியாபாரிகள் ஆளுக்குக் கொஞ்சம் பணம் முதலீடு செய்கின்றனர். அவர்கள் முதலீடு செய்யும் தொகை ஒரு மடங்கு, இரு மடங்கு என்று தொடங்கி ஐந்து மடங்குவரை உள்ளது. மொத்த லாபம் 1000 பணம் என்றால் ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும் லாபம் எத்தனை?”
நீங்களே விடையைக் கண்டுபிடியுங்கள்.
அடுத்து ஐந்தின் விதி என்பதை பாஸ்கரர் இந்தக் கணக்கின்மூலம் அறிமுகம் செய்கிறார். “நூறு ரூபாய் முதலுக்கு ஒரு மாதத்துக்கு வட்டி ஐந்து ரூபாய். அப்படியென்றால், இருபது ரூபாய்க்கு, ஆறு மாதத்துக்கு என்ன வட்டி என்பதை ஆர்யபடரின் கணிதத்தைக் கொண்டு சொல்வாயாக!”
இதனை இரண்டு கட்டங்களாகச் செய்யலாம். பழகிவிட்டால் ஒரேயடியாகவும் செய்யலாம். முதலில், இரண்டு கட்டங்களாக மூன்றின் விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.
நூறு ரூபாய் முதலுக்கு ஒரு மாத வட்டி ஐந்து ரூபாய் என்றால், இருபது ரூபாய் முதலுக்கு ஒரு மாத வட்டி எத்தனை?
= (20*5)/100 = 1
அடுத்து, இருபது ரூபாய் முதலுக்கு ஒரு மாத வட்டி ஒரு ரூபாய் என்றால், இருபது ரூபாய் முதலுக்கு ஆறு மாத வட்டி எத்தனை?
= (6*1)/1 = 6
இதனையே, (20/100) * (6/1) * 5 = 6 என்று ஐந்தின் விதி என்பதாக ஒரேயடியாகச் செய்துவிடலாம்.
அடுத்து பாஸ்கரர், ஏழின் விதியைச் செயல்படுத்திக்காட்ட எடுத்துக்கொள்ளும் சுவையான கணக்கைப் பார்ப்போம்:
“7 அடி உயரம், 30 அடி சுற்றளவு, 9 அடி நீளம் கொண்ட ஒரு யானைக்கு 9 குடுவை அவல் உணவாகத் தரவேண்டும் என்றால், 5 அடி உயரம், 28 அடி சுற்றளவு, 7 அடி நீளம் கொண்ட ஒரு யானைக்கு எத்தனை குடுவை அவல் தரவேண்டும்?”
= (5/7)*(28/30)*(7/9)*9 = 4 2/3 குடுவை
இவ்வாறு நாம் இந்தவகைக் கணக்குகளை நீட்டித்துக்கொண்டே போகலாம். ஆனால் எல்லாமே விகிதங்கள்தான். மூன்றின் விதியைத் தெரிந்துகொண்டால் போதும். பாஸ்கரர் இதில் வ்யஸ்த த்ரைராஶிகம் என்ற தலைகீழ் மூன்றின் விதியையும் அறிமுகப்படுத்துகிறார். இதில் ஒரு கணக்கை மட்டும் பார்ப்போம்.
“ஒரு பலம் என்பது ஐந்து சௌவர்ணிகம் என்றால், பதினாறு பலம் தங்கம் தென்படுகிறது. இதே ஒரு பலம் என்பது நான்கு சௌவர்ணிகம் என்றால், எத்தனை பலம் தங்கம் உள்ளது?”
= (16 * 5) /4 = 20 பலம்.
எவற்றைப் பெருக்குகிறோம், எதால் வகுக்கிறோம் என்பது தெளிவாக இருக்கவேண்டும். அவ்வளவுதான்.
இவையெல்லாமே x என்ற மாறியை (variable) வைத்துக்கொண்டு உருவாக்கும் ஒருபடிச் சமன்பாடுகளே. இவற்றைப் பொதுவாக எதிர்கொள்ள ஆர்யபடர், 28-வது பாவில் ஒரு வழிமுறையைத் தருகிறார். அதனை த்ரைராஷிகத்தின் மேம்பட்ட வடிவமாகப் பார்க்கவேண்டும்.
தெரியாத ஒன்றைப் பெருக்கி, வகுத்து, கூட்டி, கழித்து ஒரு விடை வருகிறது என்றால், அவற்றை விடைமீது தலைகீழாகச் செய்தால், ‘தெரியாதது’ கிடைத்துவிடும்.
இதற்கு பாஸ்கரர் தரும் எடுத்துக்காட்டு இது: “கொடுத்திருக்கும் ஒன்றை இரண்டால் பெருக்கி, ஒன்றைச் சேர்த்து, ஐந்தால் வகுத்து, மூன்றால் பெருக்கி, மீண்டும் இரண்டைக் கழித்து, ஏழால் வகுத்தால் கிடைப்பது ஒன்று. நீங்கள் எதில் ஆரம்பித்தீர்கள்?”
ஆர்யபடரின் முறைப்படி, எல்லாவற்றையும் பின்னாலிருந்து தலைகீழாகச் செய்யவேண்டும்.
விடை = ((((((1 * 7) + 2) / 3) * 5) – 1) / 2) = 7
இதனை நவீன இயல்கணிதத்தில் இப்படிச் செய்திருப்போம். தெரியாததை x என்று வைத்துக்கொண்டு, சமன்பாட்டை உருவாக்கியிருப்போம்.
\left[\left[\frac{2x+1}{5}\right]3 - 2\right] \frac{1}{7} = 1இந்தச் சமன்பாடு ஒருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும். இதனை நாம் ஆர்யபடரின் முறைப்படித்தான் கையாளுவோம். இதில் உள்ளார்ந்து இருப்பது கூட்டல், பெருக்கல் ஆகியவற்றின் நேர்மாறு (inverse operation). கூட்டலுக்குக் கழித்தல் நேர்மாறு, பெருக்கலுக்கு வகுத்தல் நேர்மாறு என்னும் அல்ஜீப்ரா கோட்பாடு.
இவ்வாறாக, எளிமையான ஒருபடிச் சமன்பாட்டில் தொடங்கி சில சிக்கலான ஒருபடிச் சமன்பாடுகளைக் கையாள்வது எப்படி என்று ஆர்யபடர் விளக்குகிறார். இதனை அடுத்த வாரம் எடுத்துக்கொள்வோம்.
(தொடரும்)
