ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட ஒருபடிச் சமன்பாடுகளை நீங்கள் உயர்நிலைப் பள்ளியில் பார்த்திருப்பீர்கள். ஏழாம் வகுப்பிலேயே எளிமையான இத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எப்படி என்று சொல்லிக்கொடுத்துவிடுவார்கள். அதிகபட்சம் இரண்டு மாறிகள் இருக்கும். அதற்குமேல் இருக்காது. பின்னர் அடுத்தடுத்த வகுப்புகளில் மூன்று மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளைச் சொல்லிக்கொடுத்திருப்பார்கள். இவற்றைப் பொதுமைப்படுத்த, மேட்ரிக்ஸ் என்றவகைக் கணக்கையும் மேட்ரிக்ஸை எப்படித் ‘தலைகீழ்’ ஆக்குவது என்பதையும் சொல்லிக்கொடுத்திருப்பார்கள்.
எடுத்துக்காட்டாக இரண்டு மாறிகள் கொண்ட ஒருங்கமை ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் இவ்வாறுதான் இருக்கும்.
5x + 3y = 11 x + 2y = 5மூன்று மாறிகள் கொண்ட ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகள் இவ்வாறு இருக்கும்.
x + y + z = 6 3x - y + z = 4 2x + y + z = 7ஆர்யபடர் இந்தவகைக் கணக்குகளை எடுத்துக்கொள்வதில்லை. மாறாக இவ்வகைக் கணக்குகளில் மூன்று சிறப்புவகைகளை மட்டும் ஆராய்கிறார்.
முதலாவதில், சில மாறிகள் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும்போது, அவற்றில் ஒன்றைத் தவிர்த்துவிட்டு பிறவற்றின் கூட்டுத்தொகைகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அவற்றைக் கொண்டு ஒவ்வொரு மாறியையும் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது, என்பது.
எடுத்துக்காட்டாக, x_1, x_2, x_3, x_4 என நான்கு மாறிகள் உள்ளன. இவற்றில், மூன்று மூன்றாகக் கூட்டப்பட்டு கூட்டுத்தொகை தரப்பட்டுள்ளது. அதாவது,
x_2 +x_3 + x_4 = a_1 x_1 +x_3 + x_4 = a_2 x_1 +x_2 + x_4 = a_3 x_1 +x_2 + x_3 = a_4இடது பக்கத்தையும் வலது பக்கத்தையும் அப்படியே கூட்டினால் கிடைப்பது,
3(x_1 + x_2 +x_3 + x_4) = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4)அல்லது,
x_1 + x_2 +x_3 + x_4 = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}{3}எனவே,
x_1 = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}{3} - a_1 x_2 = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}{3} - a_2 x_3 = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}{3} - a_3 x_4 = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}{3} - a_4இதைப் பார்க்கும்போதே இதை மேலும் பொதுமைப்படுத்தமுடியும் என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கும்.
முதலாம் பாஸ்கரர் இதனை விளக்கிவிட்டு இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுக்கிறார். அதில் ஒன்றைமட்டும் நாம் எடுத்துக்கொள்வோம்.
“யானைகள், குதிரைகள், ஆடுகள், கழுதைகள், ஒட்டகங்கள், கோவேறு கழுதைகள், மாடுகள் என ஏழு கூட்டங்கள் உள்ளன. அவற்றின் ஒவ்வொன்றாக விட்டுவிட்டு மற்றவற்றைக் கூட்டினால், 28-ல் தொடங்கி ஒவ்வொன்றாகக் குறைந்துகொண்டே வருகின்றன. இறுதி (மாடு) மட்டும் மேலும் ஒன்று குறைவானது. ஒவ்வொரு கூட்டத்திலும் எத்தனை, மொத்தம் எத்தனை என்று கூறு.”
ஒவ்வொன்றாக விட்டுவிட்டு, மற்றவற்றை மட்டும் கூட்டினால் கிடைப்பது: 28, 27, 26, 25, 24, 23, 21. கடைசியில் 22 இருக்காது, 21 மட்டும்தான். விடைகள் முழு எண்ணாக வருவதற்காக பாஸ்கரர் செய்துள்ள வேலை இது. மொத்த எண்ணிக்கை வேண்டுமென்றால், அனைத்து எண்களையும் கூட்டி 7-1=6-ஆல் வகுக்கவேண்டும்.
மொத்தம் = (28+27+26+25+24+23+21)/6 = 29
எனவே, யானை=1, குதிரைகள்=2, ஆடுகள்=3, கழுதைகள்=4, ஒட்டகங்கள்=5, கோவேறு கழுதைகள்=6, மாடுகள்=8.
இரண்டாவது வகைக் கணக்கில் இரண்டு மாறிகளை வைத்துக்கொண்டு, அவற்றின் வெவ்வேறு இணைக்கூட்டுகளைச் சமன்படுத்துவதன்மூலம் விடை கண்டுபிடித்தல்.
எடுத்துக்காட்டாக, பழக் கடைக்குச் செல்கிறீர்கள். “ஐந்து மாம்பழங்களும் எட்டு ரூபாயும் சேர்ந்தால் என்ன கிடைக்குமோ, அதுதான் இரண்டு மாம்பழங்களும் பதினேழு ரூபாயும் சேர்ந்தது” என்கிறார் கடைக்காரர். மாம்பழத்தின் விலை என்ன?
விலையை x என்று வைத்துக்கொள்ளுங்கள்.
5 x + 8 = 2 x + 17அல்லது, 5 x - 2x = 3x = 17 - 8 = 9
எனவே, x=3. ஒரு மாம்பழத்தின் விலை ரூ. 3.
இந்த வகைக் கணக்கைப் பொதுவாக,
a x + b = c x + dஎன்று சொல்லலாம். இங்கே விடை,
x = \frac{d-b}{a-c}மூன்றாவதாக ஆர்யபடர் கையில் எடுப்பது, வேகமும் தூரமும். இதனை நாம் இயற்பியல் என்று எடுத்துக்கொள்ளக்கூடாது. வேகம் என்றால், எல்லாமே சீரான வேகம். இவையும் ஒருபடிச் சமன்பாட்டுக்குள்தான் வரும். ஆர்யபடர் இரண்டுவகையான கணக்குகளை எடுத்துக்கொள்கிறார்.
இருவர், எதிரெதிர் திசையில் வெவ்வேறு வேகத்தில் ஒருவரை நோக்கி இன்னொருவர் நடந்துவருகிறார்கள். ஆரம்பத்தில் இருவருக்கும் இடையில் குறிப்பிட்ட இடைவெளி இருக்குமானால் இருவரும் எப்போது சந்தித்துக்கொள்வார்கள்?
இருவரும் ஒரே திசையில் செல்கிறார்கள். முன்னால் செல்பவரைவிட அதிக வேகத்தில் அவர் பின்னால் ஒருவர் குறிப்பிட்ட இடைவெளி விட்டுக் கிளம்புகிறார். எப்போது இருவரும் சந்தித்துக்கொள்வார்கள்?
ஆர்யபடர் விடைகளை ஒரே பாவில் சொல்லிமுடித்துவிடுகிறார். முதலாவது என்றால், இடைவெளியை, இருவரது வேகத்தின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கவேண்டும். இரண்டாவது என்றால், இடைவெளியை, இரண்டாம் நபரின் வேகத்திலிருந்து முதலாமவரின் வேகத்தைக் கழித்து வரும் விடையால் வகுக்கவேண்டும்.
பாஸ்கரர் இந்தப் பாவை விளக்கும்போது வானியலைத்தான் எடுத்துக்காட்டாகச் சொல்கிறார். கிரகங்களை பூமியிலிருந்து காணும்போது ஒரே திசையில் செல்லாமல் எதிர்த் திசையிலிருந்து செல்வதுபோலவும் தோற்றம் ஏற்படும். இதற்கு Retrograde Motion – வக்கரிப்பு இயக்கம் என்று பெயர். இவை குறித்து பாஸ்கரர் தன் நூல்களான மஹாபாஸ்கரீயம், லகுபாஸ்கரீயம் ஆகியவற்றில் நிறையவே எழுதியுள்ளார்.
இதனை இங்கே குறிப்பிடுவதன் காரணம், ஆர்யபடர் கையில் எடுக்கும் பல கணக்குகளுமே வானியலை நோக்கியதாகவே உள்ளன. இவற்றை அடுத்துவரும் சில பகுதிகளின் நம்மால் பார்க்க இயலும்.
பொதுவான ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளை மட்டும் ஒரு கை பார்த்துவிடுவோம். ஆர்யபடரும் உரையாசிரியர் பாஸ்கரரும் இவை குறித்துப் பேசவில்லை என்றாலும் பின்னர் வரும் கணித ஆசிரியர்கள், இவற்றுக்கான முழுமையான தீர்வை முன்வைக்கிறார்கள். அவை இப்போது நாம் படிக்கும் மாற்றீடு முறைதான் (Substitution Method).
ஒவ்வொரு சமன்பாடாகக் கையில் எடுத்து, ஒவ்வொரு மாறியையும் பிறவற்றின் மடங்குகளாகவும் கூட்டல் தொகையாகவும் எழுதி, நீக்கிக்கொண்டே வந்து, இறுதியில் எஞ்சியுள்ள ஒற்றை மாறியைக் கொண்ட ஒருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, பின்னோக்கிச் செல்வது.
நாம் மேலே கொடுத்திருந்த எடுத்துக்காட்டைக் கையில் எடுப்போம்.
இதில் முதலாவதை இவ்வாறு மாற்றுவோம்:
x = 6 - y - zஇதனை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் பொருத்தினால்,
3(6- y - z) - y + z = 4அல்லது, - 4y - 2z = -14
அல்லது, y = \frac{7}{2} - \frac{z}{2}
எனவே, x = 6 - y - z = \frac{5}{2}-\frac{z}{2}
இப்போது, x, y இரண்டுக்குமான சுருக்கங்களை மூன்றாவது சமன்பாட்டில் பொருத்தினால் கிடைப்பது:
2(\frac{5}{2}-\frac{z}{2}) + (\frac{7}{2} - \frac{z}{2}) + z = 7அல்லது, \frac{17}{2}-\frac{z}{2} = 7
அல்லது, z=3, y=2, x=1.
இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி எத்தனை மாறிகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளையும் தீர்த்துவிடலாம். ஆனால் தேராச் சமன்பாடு (Indeterminate Equations) என்ற ஒருவகை உள்ளது. உதாரணமாக, 2x + y = 7, 4x + 2y = 17 என்ற சமன்பாடுகளை எடுத்துக்கொண்டால், இதற்கு எந்தத் தீர்வும் கிடையாது. அல்லது 2x + y = 7, 4x + 2y = 14 என்ற சமன்பாடுகளை எடுத்துக்கொண்டால், இதற்கு எண்ணிலடங்கா தீர்வுகள் உண்டு!
எண்ணிலடங்காத் தீர்வுகள் இருந்தாலும் இதில் சில கட்டுப்பாடுகளைக் கொண்டுவருவதன்மூலம் சில குறிப்பிட்ட, அர்த்தமுள்ள, தீர்வுகள் மட்டும் வருமாறு செய்யலாம். இந்தத் துறையின் முடிசூடா மன்னர் என்றால் அது ஆர்யபடர்தான். அடுத்த சில வாரங்களுக்கு நாம் இதைத்தான் தொடர்ந்து பார்க்க இருக்கிறோம்.
(தொடரும்)
