ஆர்யபடர் கணிதத்தில் பல சாதனைகளை நிகழ்த்தியிருக்கிறார். மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கவை என்றால் அதில் கோணவியலில் (Trigonometry) சைன் பட்டியல் (Sine – ஜ்யா) என்பதும் அல்ஜீப்ராவில் குட்டகம் எனப்படும் தேராச் சமன்பாடுகளின் முழு எண் விடைகளைக் கண்டுபிடிக்கும் வழிமுறையும் ஆகும்.
அடுத்த சில பதிவுகளில் குட்டகம் என்பதைப் பார்ப்போம். வடிவ கணிதத்துக்குள் செல்லும்போது கோணவியலைப் பார்ப்போம்.
முதலில் நாம், ஒற்றை மாறி கொண்ட ஒரு படிச் சமன்பாட்டைக் கையாள்வதை விரிவாகப் பார்த்தோம். அடுத்து, பல மாறிகள் கொண்ட ஒருங்கமை ஒருபடிச் சமன்பாடுகளைக் கையாள்வது எப்படி என்று பார்த்தோம். இரண்டு மாறிகள் இருந்தால், தனித்துவமான ஒற்றை விடையைப் பெற இரண்டு ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் இருக்கவேண்டும். ஆனால் மாறாக, இரண்டு மாறிகளை கொண்ட ஒரேயொரு ஒருபடிச் சமன்பாடு இருந்தால் என்ன செய்வது?
உதாரணமாக இந்தக் கணக்கை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். ஒரு பாட்டிக்கு ஏழு பேரக் குழந்தைகள். பாட்டியிடம் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் மாம்பழங்கள் இருந்தன. அவற்றை அவர் தன் பேரக் குழந்தைகளுக்குச் சம எண்ணிக்கையில் பங்கிட்டுக் கொடுத்தார். அப்போது அவர் கையில் ஒரு பழம் மீதி இருந்தது. அந்நேரம் பக்கத்து வீட்டுக் குழந்தை ஒன்று அங்கே வந்தது. உடனே பாட்டி குழந்தைகளிடம் கொடுத்த அனைத்துப் பழங்களையும் திரும்பப் பெற்று, எட்டு குழந்தைகளுக்கும் சமமாகப் பிரித்துக் கொடுத்தார். இப்போது அவர் கையில் மூன்று பழங்கள் மீதி இருந்தன. அப்படியாயின் தொடக்கத்தில் அவரிடம் எத்தனை பழங்கள் இருந்தன?
பாட்டி ஏழு பேருக்குப் பிரித்துக்கொடுத்தபோது, ஆளுக்கு x பழங்கள் கிடைத்தன என்றும், எட்டு பேருக்குப் பிரித்துக்கொடுத்தபோது, ஆளுக்கு y பழங்கள் கிடைத்தன என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். மொத்தப் பழங்களை N என்று வைத்துக்கொள்வோம். எனில்,
N = 7x + 1 = 8y + 3ஆக, 7x = 8y + 2
இங்கே நம்மிடம் இரண்டு மாறிகள் (x, y) உள்ளன. ஆனால் ஒரேயொரு சமன்பாடு மட்டுமே உள்ளது. ஆனால் கூடவே ஒரு கட்டுப்பாடும் உள்ளது. x, y இரண்டும் மாம்பழங்கள் என்பதால் முழு எண்களாக இருக்கவேண்டும்.
இம்மாதிரியான கணிதச் சவால்களுக்கு ‘சீன மீதத் தேற்றம்’ (Chinese Remainder Theorem) என்றும் பெயர். சுன்ஸூ என்பவர் இந்தக் கணிதப் புதிரை மூன்றாம் நூற்றாண்டு வாக்கில் எழுதியுள்ளார்.
“ஓர் எண்ணை 3-ஆல் வகுத்தால் 2-ம், 5-ஆல் வகுத்தால் 3-ம், 7-ஆல் வகுத்தால் 2-ம் முறையே மீதமாக வரும் என்றால் அந்த எண்ணைக் கண்டுபிடி” என்பதுதான் அவர் கொடுத்த கணக்கு. இந்தப் புதிரைக் கொடுத்து, இதற்கான விடையையும் சுன்ஸூ கொடுத்திருந்தார். (உள்ளதிலேயே சிறிய விடை 23. வேறு பல – சொல்லப்போனால் எண்ணற்ற – விடைகளும் உள்ளன.)
இந்தப் புதிருக்கான விடையை அவர் கொடுத்தாரே தவிர, இந்த விடையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறையை அவர் தரவில்லை. நாம் மேலே தந்துள்ள மாம்பழப் புதிரும், எண்களை வகுக்கும்போது வரும் மீதம் புதிரும் ஒன்றுதான் என்பதை நீங்கள் கவனித்திருப்பீர்கள்.
ஐந்தாம் நூற்றாண்டில் ஆர்யபடர்தான் இந்த வகைக் கணக்குகளை முழுமையாகத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைத் தோற்றுவித்தார். இதற்கான அவசியம் வானியலில்தான் வருகிறது. அதனைப் பின்னர், உரையாசிரியர் பாஸ்கரரின் துணையுடன் பார்ப்போம். இப்போது மாம்பழங்களுக்கு வருவோம்.
முதலில்
N = 7x + 1என்பதை எடுத்துக்கொண்டு, x=1, 2, 3… என்பனவாகப் பொருத்திப் பாருங்கள்:
N = 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57…
அடுத்து,
N = 8y + 3என்பதை எடுத்து, இங்கு y=1, 2, 3… என்பனவற்றைப் பொருத்திப் பாருங்கள்:
N = 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59 ….
மேலே உள்ள இரண்டு பட்டியல்களையும் பார்த்தால் இரண்டிலும் வரும் முதல் எண் 43. இணையான x, y மதிப்புகள் என்னவென்று பாருங்கள். x=6, y=5. இதுதான் முதலாவது விடை. ஆனால் இது ஒன்று மட்டுமே விடையல்ல. x=14, y=12 என்பது இன்னொரு விடை. x=22, y=19 மற்றொரு விடை. இதில் ஓர் ஒழுங்குமுறை உங்களுக்குத் தோற்றம் அளிக்கலாம்.
ஆம். x, எட்டு எட்டாகத் தாவிச் செல்கிறது. இங்கே எட்டு என்பது மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் y-ன் கெழு (coefficient). அதேபோல y, ஏழு ஏழாகத் தாவிச் செல்கிறது. ஏழோ, x-ன் கெழு.
எனவே ஒரு விடையை – உள்ளதிலேயே சிறிய விடையைக் கண்டுபிடித்துவிட்டால், அடுத்த எண்ணற்ற விடைகளை நாமே எழுதிவிடலாம்.
சரி, இதில் என்ன பெரிய விஷயம்? இதோ, மேலேயே ஒரு வழிமுறையைக் கொடுத்துவிட்டீர்களே, இதற்குமேல் என்னதான் வேண்டியுள்ளது? இதற்கு ஆர்யபடர் எதற்கு? அடுத்த கணக்குக்குப் போகலாம் என்கிறீர்களா?
சரி, கீழ்க்கண்ட கணக்கின் விடையைக் கண்டுபிடித்து வையுங்கள். அடுத்த வாரம் பார்க்கலாம்.
78898 x = 2155625 y + 1093750
(x, y இரண்டும் முழு எண்களாக இருக்கவேண்டும்.)
(தொடரும்)
