ஆர்யபடர் சூத்திரவடிவில் எழுதிச் சென்ற பாக்களில் குட்டகம் என்ற பெயர் கிடையாது. உரையாசிரியர் முதலாம் பாஸ்கரரும் அவருடைய சமகாலத்தவரான பிரம்மகுப்தருமே இந்தவகைக் கணக்குகளை அப்பெயர் கொண்டு அழைத்தனர்.
முதலாம் பாஸ்கரரின் உரை இன்றி, ஆர்யபடர் என்ன சொல்லவருகிறார் என்பதை நம்மால் புரிந்துகொள்ளவே முடியாது. பாஸ்கரரின் உரைக்குச் செல்லுமுன், பல நூற்றாண்டுகள் தாண்டி, ஐரோப்பியக் கணிதமேதை ஆய்லர் (Euler) இதே கணக்கை எப்படிச் செய்தார் என்று ஒருமுறை பார்த்துவிடுவோம். ஆய்லரின் காலம் 1707 முதல் 1783 ஆகும். அதாவது ஆர்யபடரின் காலத்துக்குச் சுமார் 1100 ஆண்டுகள் கழித்து.
ஆய்லர் ஜெர்மன் மொழியில், ‘அல்ஜீப்ராவின் கூறுகள்’ என்ற எளிய கணித அறிமுகப் புத்தகத்தை எழுதினார். சமஸ்கிருதத்தில் பீஜகணிதம், அவ்யக்த கணிதம் என்ற பெயரில் புழங்குவதுதான், அராபியர்களிடம் சென்று, அவர்கள் வழியாக ஐரோப்பாவை அடைந்தபோது அல்ஜீப்ரா என்ற பெயரைப் பெற்றது. இந்தப் புத்தகத்தில், குட்டக வகைக் கணக்குகள் சிலவற்றை ஆய்லர் கொடுத்து, தீர்வையும் செய்துகாட்டுகிறார். அதில் ஒன்று:
“ஒரு நபர் சில குதிரைகளையும் காளைகளையும் விலைக்கு வாங்குகிறார். ஒரு குதிரையின் விலை 31 கிரவுன். ஒரு காளையின் விலை 20 கிரவுன். அந்த நபர் காளைகளுக்காகச் செலவு செய்த தொகை, குதிரைகளுக்குச் செலவு செய்ததைவிட 7 கிரவுன் அதிகம். அப்படியானால் அவர் வாங்கிய குதிரைகள் எத்தனை, காளைகள் எத்தனை?”
வாங்கிய குதிரைகள் x, காளைகள் y என்று வைத்துக்கொள்வோம். சமன்பாடு இவ்வாறு வரும்:
31 x +7 = 20 yபார்த்தவுடனேயே நாம் இதுகாறும் கையாண்டுவந்திருக்கும் கணக்குதான் இது என்று தெரிந்திருக்கும். இதனை ஆய்லர் எவ்வாறு தீர்க்கிறார் என்று பார்ப்போம். மேலே உள்ள சமன்பாட்டை இப்படி மாற்றி எழுதுகிறார்:
20y = 31 x +7 y = \frac{31 x +7}{20} = x + \frac{11 x + 7}{20}மேலே, x, y இரண்டுமே முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும். அப்படியென்றால்,
y_1 = \frac{11 x + 7}{20}என்பது முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும். இதனை மாற்றி எழுதினால்,
x = \frac{20y_1 - 7}{11}பின்னத்தின் பகுதியில் உள்ள கெழு, விகுதியைவிடப் பெரியதாக இருக்குமாறு செய்திருக்கிறோம். அவ்வாறு செய்யும்போது ‘+7’ என்று முதலில் இருந்தது ‘-7’ என்று மாறியிருப்பதைப் பாருங்கள். இந்தச் சமன்பாட்டை விரித்து எழுதினால்,
x = \frac{20y_1 - 7}{11} = y_1 + \frac{9y_1-7}{11}இந்தச் சமன்பாட்டில், x, y_1 இரண்டும் முழு எண் என்றால், அருகில் உள்ள பின்னமும் முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும். அதாவது,
x_1 = \frac{9y_1-7}{11}அல்லது,
y_1 = \frac{11x_1+7}{9} = x_1 + \frac{2x_1+7}{9}இப்போது ‘+7’ வந்துவிட்டது பாருங்கள். இப்போது,
y_2 = \frac{2x_1+7}{9}இங்கே, x_1, y_2 இரண்டுமே முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும். இந்தக் கட்டத்தில் நாம் பெரிய பெரிய எண்களை ‘உடைத்து’ சிறிய எண்களாக மாற்றிவிட்டோம். இப்போது மேலே உள்ள சமன்பாடு எளிதாக உள்ள காரணத்தால், பார்த்த மாத்திரத்திலேயே பதில் சொல்லிவிடமுடியும்.
x_1 = 1 என்று எடுத்துக்கொண்டால், y_2 = 1 என்றாகி, நமக்கு வேண்டிய விடை வந்துவிடுகிறது. இதுதான் உள்ளதிலேயே எளிய (சிறிய) விடை என்பதைப் பெரிய ஆராய்ச்சிகள் ஏதும் இன்றிச் சொல்லிவிட முடியும். ஆனால் நமக்குத் தேவையானதோ, x, y. எனவே பின்னோக்கிப் போகவேண்டும்.
y_1 = x_1 + \frac{2x_1+7}{9} = 2 x = y_1 + \frac{9y_1-7}{11} = 3 y = x + \frac{11 x + 7}{20} = 5ஆக, எளிய விடை, 3 குதிரைகள், 5 காளைகள். இதற்கு எண்ணற்ற பல விடைகள் உண்டு என்பதை அறிவீர்கள்.
23 குதிரைகள், 36 காளைகள்
43 குதிரைகள், 67 காளைகள்
(3+20k) குதிரைகள், (5+31k) காளைகள் (k=0, 1, 2, 3…)
***
ஆர்யபடர் இதையே ஓர் அல்கரிதமாகச் செய்து நான்கடிப் பாவாக மாற்றிவிட்டார்.
அதிகாக்ரபாகஹாரம் சிந்த்யாதூனாக்ரபாகஹாரேண
ஷேஶபரஸ்பரபக்தம் மதிகுணமக்ராந்தரேக்ஷிப்தம்
அதஉபரிகுணிதமந்த்ய யுகூணாக்ரச்சேதபாஜிதேஷேஶம்
அதிகாக்ரச்சேதகுணம் த்விச்சேதாக்ரமதிகாக்ரயுதம்
கொஞ்சம் உன்னிப்பாகக் கவனியுங்கள்:
y = \frac{a x + c}{b}என்பதுதான் நாம் கையாளும் சமன்பாடு. இதில் a, b, c ஆகியவை மாறிலிகள். x, y இரண்டும் மாறிகள். அனைத்துமே முழு எண்கள். இந்தியர்களைப் பொருத்தமட்டில் இரண்டும் நேர் முழு எண்கள், ஆனால் எதிர் எண்களாக இருந்தாலும் இதே வழிமுறை பொருந்தும். ‘+c’ என்பதற்கு பதில் ‘-c’ என்று இருந்தால் எப்படிக் கையாள்வது என்று வரும் வாரங்களில் பார்ப்போம்.
முதல் படி: a-வை b-ஆல் பரஸ்பரம் வகுத்துக்கொண்டே போங்கள். அதாவது, a-வை b-ஆல் வகுக்கவேண்டும். வரும் மீதியால் b-ஐ வகுக்கவேண்டும். கிடைக்கும் மீதியால், முதலில் கிடைத்த மீதியை வகுக்கவேண்டும். முதல் வகுத்தலைக் கணக்கில் எடுக்காமல், அடுத்தடுத்து, இரட்டைப்படை எண்ணிக்கையில் வகுத்தல்களைச் செய்துகொண்டே செல்லவேண்டும். எதுவரை? அடுத்தடுத்து வரும் மீதங்கள் ஓரளவுக்குச் சிறிய எண்ணாக ஆகும்வரை.
இரண்டாம் படி: மேலே சொன்னபடி முதல் வகுத்தலை விடுத்து, அடுத்தடுத்து இரட்டைப்படையாக வகுத்தல்களைச் செய்து, அடுத்தடுத்த மீதங்கள் R_{k-1}, R_k என்று இருக்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். அடுத்தடுத்த வகுத்தல்களைச் செய்யும்போது ஒரு விஷயத்தைக் கவனித்திருப்பீர்கள். ஒரு கட்டத்தில் கிடைக்கும் மீதமானது, அதற்கு முந்தைய மீதத்தைவிடச் சிறியதாக இருக்கும். இந்தக் கட்டத்தில் ‘மதி’ எனப்படும் ‘m’ என்ற ஓர் எண்ணை ஊகிக்கவேண்டும்.
q = \frac{R_{k-1} m + c}{R_k}இங்கே m, q இரண்டும் நேர் முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும்.
மூன்றாம் படி: பரஸ்பரமாகச் செய்த வகுத்தல்களில் முதல் ஈவை (q_1) விடுத்து, அடுத்தடுத்த வகுத்தல்களில் வந்திருக்கும் ஈவுகளை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அவற்றை q_2, q_3, …, q_{k-1}, q_k என்று எடுத்துக்கொள்வோம். இவற்றுடன், m, q ஆகியவற்றைச் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள். இந்த எண்களையெல்லாம் ஒன்றன்கீழ் ஒன்றாக எழுதுங்கள்.
நான்காம் படி: இதற்கு பாஸ்கரர் ‘வல்லி உபசம்ஹாரம்’ என்ற பெயரைக் கொடுக்கிறார். வல்லி என்றால் கொடி. கொடி படர்வதுபோல மேலே செல்லுதல். கீழிருந்து மேலாகச் செல்லவேண்டும். இப்போது நாம் எழுதியுள்ள செங்குத்து வரிசையில் கடைசி மூன்று எண்கள், p, q, r என்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். கடைசி எண்ணை (r) விட்டுவிடுங்கள். அதற்குமேல் உள்ள எண்ணை (q) அப்படியே பக்கத்தில் மாற்றம் ஏதும் இன்றி எழுதுங்கள். அதற்கு மேல் (p*q+r) என்பதை எழுதுங்கள். அதாவது, p, q இரண்டையும் பெருக்கி, அதனுடன் r-ஐக் கூட்டி கிடைக்கும் விடை. அதற்குமேல் பக்கத்து வரிசையிலிருந்து அப்படியே பிரதியெடுத்து எழுதுங்கள்.
ஐந்தாம் படி: மேலே செய்தவற்றை அப்படியே அடுத்தடுத்துத் தொடருங்கள். இறுதியில் கிடைக்கும் செங்குத்துவரிசையில் இரண்டே இரண்டு எண்கள் மட்டும் எஞ்சியிருக்கும். அப்படி ஆனவுடன், மேலே உள்ள எண்ணை ‘b’-ஆல் வகுத்து, அதன் மீதியை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அதுதான் x-இன் ஆகச் சிறிய விடை. கொடுத்துள்ள முதல் சமன்பாட்டில் இதனைப் பொருத்தினால் y-இன் மிகச் சிறிய விடை கிடைத்துவிடும்.
***
மேலே ஆய்லர் கொடுத்துள்ள வழிமுறையின் அல்காரித வடிவம்தான் ஆர்யபடர் கொடுத்துள்ளது என்பது சற்றே கூர்ந்து நோக்கினால் ஒருவருக்குப் புரியவரும்.
இந்தக் கட்டத்தில் உங்களில் பலரும் குழம்பியிருக்கலாம். பொறுத்திருங்கள், நாம் சில எடுத்துக்காட்டுகளை அடுத்தடுத்த வாரங்களில் பார்ப்போம். அத்துடன், கீழே உள்ளது மட்டுமல்ல, இதைவிட மாபெரும் எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்டிருக்கும் சமன்பாடுகளை எப்படி இலகுவாகக் கையாள்வது என்றும் பார்ப்போம்.
78898 x = 2155625 y + 1093750மேலும், இந்தத் துறையில் இரண்டாம் ஆர்யபடர் என்பார் (நம் ஆர்யபடர் அல்ல, சில நூற்றாண்டுகள் கழித்து, பொயு 920-1000 ஆண்டுகளில் வாழ்ந்த இன்னொருவர்) எம்மாதிரியான மாற்றத்தைக் கொண்டுவந்தார் என்பதையும் பார்ப்போம். அவற்றையெல்லாம்விட, இந்தக் கணக்குகளை இந்தியர்கள் எதற்காகச் செய்தனர் என்பதையும் பார்ப்போம்.
(தொடரும்)
