இந்தப் பகுதியில் நாம் பார்க்க இருப்பது, முதலாம் ஆர்யபடர் கொடுத்த வழிமுறை அல்ல. அவருக்குப் பின்னர் வந்த இரண்டாம் ஆர்யபடர் கொடுத்தது. முழுமை கருதியே இங்கே இதனைப் பார்க்கிறோம். இந்த வாரத்துடன் குட்டகத்தை நிறைவு செய்துவிட்டு, ஆர்யபடரின் வடிவ கணிதப் பகுதிக்குள் நுழைவோம்.
முதலாம் ஆர்யபடர் எடுத்துக்கொண்ட கணக்கை,
y = \frac{a x + R}{b}என்று எழுதலாம். இங்கே, a, b இரண்டும் எத்தனை பெரிய எண்களாக இருந்தாலும் பரஸ்பர வகுத்தல், மதி, வல்லி உபசம்ஹாரம் ஆகியவை கொண்டு விடையைக் கண்டுபிடித்துவிடலாம். ஆனால் R ஓர் பெரிய எண்ணாக இருந்தால் மதி கண்டுபிடிக்கும்போது சிறிய தொல்லை; வல்லி உபசம்ஹாரத்தின்போது பெரிய தொல்லை.
அடுத்த ஓரிரு நூறாண்டுகளில் இதனை யாரும் பெரிதாகக் கண்டுகொண்டதாகத் தெரியவில்லை. பிரம்மகுப்தர், மகாவீரர் போன்ற பெரும் கணித விற்பன்னர்கள் இதில் மாற்றத்தைக் கொண்டுவரவில்லை. இரண்டாம் ஆர்யபடர் பத்தாம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தவர். அவர் எந்த ஆண்டில் பிறந்தார் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. அவர் எழுதிய மஹாசித்தாந்தம் என்ற புத்தகம் கிடைத்துள்ளது.
மஹாசித்தாந்தம், கிட்டத்தட்ட அந்தக் காலகட்டத்தில் தெரிந்திருந்த கணிதம், வானியல் ஆகியவற்றைப் பற்றிய தகவல்களை மட்டுமே உள்ளடக்கியிருந்தது. முக்கியமான புதுமை, குட்டகம் தொடர்பானது. அடுத்தது கோணவியலில் சைன் பட்டியல், மேலும் துல்லியப்படுத்தப்பட்டு கொடுக்கப்பட்டிருந்தது.
குட்டகத்தில் என்ன புதுமையை இரண்டாம் ஆர்யபடர் கொடுத்திருந்தார்? பரஸ்பர வகுத்தலில் மீதம் ‘1’ என்று வரும்வரை வகுக்கவேண்டும். இதனை நாம் எடுத்துக்கொள்ளவேண்டாம். இரண்டாவது மாற்றம், R, அது நேர் எண்ணாக இருந்தாலும் சரி, எதிர் எண்ணாக இருந்தாலும் சரி, அந்த எண்ணைப் பற்றிக் கவலைப்படாமல் , அந்த இடத்தில் ‘1’ என்பதை வைத்து, விடையைக் கண்டுபிடித்துவிட்டு, அதிலிருந்து மூலக் கணக்கின் விடையை எழுதுவது. இதுதான் மிகப் பெரிய பாய்ச்சல் ஆகும்.
அதாவது, மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணக்குக்கு பதில்,
y = \frac{a x + 1}{b}என்பதை முதலில் தீர்ப்பது. இதற்கு விடை கிடைத்துவிட்டால், எப்படி முந்தைய கணக்குக்கான விடையை எழுதிவிடலாம் என்பதை இரண்டாம் ஆர்யபடர் வழங்கினார். இதனை நாம் சற்று முயன்றால் தருவித்துவிடலாம். மேலே உள்ள கணக்கின் ஒரு விடை, x=p, y=q என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியென்றால்,
b q = a p + 1இப்போது மேலே உள்ள சமன்பாட்டை ‘R’ என்பதால் இரண்டு பக்கமும் பெருக்குங்கள்.
b (Rq) = a (Rp) + Rஇதைப் பார்த்தவுடனேயே, முந்தைய கணக்கின் ஒரு விடை, x=Rp, y=Rq என்று சொல்லிவிட முடியுமல்லவா? ஆனால் இதுதான் உள்ளதிலேயே சிறிய விடையாக இருக்கும் என்று சொல்லமுடியாது. அதனைக் கண்டுபிடிக்கவேண்டும் என்றால், Rp-ஐ b-ஆல் வகுத்து, வரும் மீதியை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அதேபோல, Rq-ஐ a-ஆல் வகுத்து, வரும் மீதியை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும்.
இதுமட்டுமல்ல,
y = \frac{a x - 1}{b}என்பதற்கான விடையை உடனே எழுதிவிட முடியுமா? முடியும்.
b q = a p + 1என்பதில் தொடங்குவோம். இரண்டு பக்கத்தையும் ‘ab’ என்பதிலிருந்து கழிப்போம்.
ab - b q = ab - a p - 1அல்லது,
b (a-q) = a (b-p) - 1உடனேயே சொல்லிவிடலாம், x=(b-p), y=(a-q) என்பதுதான் விடை என்று.
அப்படியானால்,
y = \frac{a x - R}{b}என்பதன் விடையை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?
முதலில்
y = \frac{a x + 1}{b}என்பதன் ஒரு (உள்ளதிலேயே சிறிய) விடையைக் கண்டுபிடியுங்கள். அது, x=m, y=n என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
அடுத்த கட்டம், x=(b-m), y=(a-n)
அடுத்த கட்டம், x=R(b-m), y=R(a-n)
இப்போது கிடைத்துள்ள விடையை, b-ஆலும், a-ஆலும் வகுத்து, வரும் மீதியை எடுத்துக்கொள்ளவும். அதுதான் உள்ளதிலேயே மிகச் சிறிய, நமக்குத் தேவையான விடை.
இப்போது ஓரிரு எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைச் செய்துபார்ப்போம்.
y = \frac{447 x + 9}{11}என்பதற்கான விடை என்ன? இதைச் செய்வதற்கு, முதலில்,
y = \frac{447 x + 1}{11}என்பதை எடுத்துக்கொள்வோம்.
முதல் படி:
இரண்டாம் படி:
q = \frac{3 m + 1}{4}எனவே, m=1, q=1
மூன்றாம் படி:
நான்காம் படி:
x=3, y=(447(3)+1)/11=122
ஐந்தாம் படி:
கொடுக்கப்பட்டுள்ள மூலக் கணக்கின் ஒரு விடை:
x= 9*3 = 27, y = 9*122 = 1098
ஆனால், சிறிய விடை வேண்டும் என்றால், 27-ஐ 11-ஆல் வகுத்து வரும் மீதியை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும், அதாவது x=5. அதேபோல், 1098-ஐ 447-ஆல் வகுத்து, வரும் மீதியை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும், அதாவது, y=204.
(5, 204) என்பதுதான் மிகச் சிறிய விடை.
இவ்வாறு இரண்டாம் ஆர்யபடரின் வழிமுறையைப் பின்பற்றுவதன் நன்மை, சட்டென
y = \frac{447 x - 9}{11}என்பதன் விடையையும் எழுதிவிட முடியும் என்பதே. மீண்டும் வல்லி உபசம்ஹாரம் போன்றவை தேவையில்லை.
y = \frac{447 x + 1}{11}என்பதன் விடையிலிருந்து ஆரம்பிப்போம். x=3, y=122
அப்படியானால்,
y = \frac{447 x - 1}{11}என்பதன் விடை, x=11-3=8, y=447-122=325
அப்படியானால்,
y = \frac{447 x - 9}{11}என்பதன் விடை, x=9*8=72, y=9*325=2925
உள்ளதிலேயே மிகச் சிறிய விடையைக் கண்டுபிடிக்க, 72-ஐ 11-ஆல் வகுத்து வரும் மீதியையும், 2925-ஐ 447-ஆல் வகுத்து வரும் மீதியையும் எடுக்கவேண்டும்.
அதாவது, x=6, y=243
விடை சரியா என்பதை நீங்களே பார்த்துக்கொள்ளுங்கள்.
*
இப்போது, நாம் முதலாம் பாஸ்கரர் ஆர்யபடீய உரையில் கொடுத்துள்ள கணக்குக்கு வருவோம்.
x = \frac{2155625 y + 1093750}{78898}இதனைக் கையில் எடுக்காமல்,
x = \frac{2155625 y + 1}{78898}என்பதை முதலில் தீர்ப்போம்.
முதல் படி:
இரண்டாம் படி:
எட்டு வகுத்தல்கள் (முதலாவதைத் தவிர்த்துவிட்டு) தேவைப்பட்டிருக்கிறது, சிறிய மீதங்களை அடைய. ஆறு வகுத்தல்களோடு நிறுத்தி, ஊகித்திருக்கலாம். ஆனால் எட்டுக்குப் பிறகு, எளிதாகிறது.
எனவே, m=1, q=1
மூன்றாம் படி:
3, 9, 5, 4, 1, 3, 2, 3, 1, 1 என்னும் பத்து எண்களுடன் வல்லியைக் கட்டவேண்டும்.
நான்காம் படி:
y = 28433, x = 776837
ஐந்தாம் படி:
R=1093750 என்பதைக் கொண்டு மேலே வந்துள்ள இரண்டு எண்களையும் பெருக்கவேண்டும்.
y = 31098593750, x = 849665468750
இவையெல்லாம் 11, 12 இலக்க எண்கள்! ஆனால் மேலே உள்ளது, ஆகச் சிறிய விடை அல்ல. எனவே இவற்றை முறையே 78898 மற்றும் 2155625 ஆகியவற்றால் வகுத்து, மீதங்களை எழுதவேண்டும். அப்படிச் செய்தால் நமக்குக் கிடைப்பது, y = 274, x = 7500
யோசித்துப் பாருங்கள், இந்த அருமையான வழிமுறை நம்மிடம் இல்லாவிட்டால் மதி கண்டுபிடிப்பதிலும் வல்லி உபசம்ஹாரத்திலும் எத்தனை கடினமான பெருக்கல், கூட்டல்களைச் செய்யவேண்டியிருந்திருக்கும் என்று.
*
இப்படியாக நாம் குட்டகம் என்னும் தலைப்பிலிருந்து விடுபடுகிறோம். ஆர்யபடரின் வெறும் நான்கு வரிகள் இவ்வளவு தூரம் பரந்து விரிந்து, இந்தியக் கணிதத்தில் ஒரு மிகப்பெரும் துறையாக ஆகியிருந்தது. பிற்கால கணித நிபுணர்கள் அனைவருமே ஓர் அத்தியாயத்தையே இதனை அலசச் செலவிட்டனர். தேவராஜன் என்பவர் குட்டாகாரசிரோமணி என்ற ஒரு முழுப் புத்தகத்தையே எழுதியுள்ளார். இவர் குறித்து அதிகம் தகவல்கள் இல்லை என்றாலும், இவருடைய தந்தை வரதராஜன், இவர் 13-ம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தவராக இருக்கலாம், இவர் காஞ்சிபுரத்தில் வசித்திருக்கலாம் என்று கருத இடமுள்ளது.
*
அடுத்த வாரத்திலிருந்து ஆர்யபடரின் வடிவ கணிதத்துக்குள் நுழைவோம்.
(தொடரும்)
Tough subject, especially to explained in Tamil. You have done a superb job. Congratulations