ஆர்யபடர் வடிவ கணிதத்தில் மிகக் குறைவான அளவே கவனம் செலுத்தினார். இங்குதான் அவர் சில சமன்பாடுகளில் தவறையும் செய்திருக்கிறார். இவரை அடுத்துவந்த பிரம்மகுப்தரும் பின்னர் வந்த மகாவீரரும் வடிவ கணிதத்தில் மிக முக்கியமான பங்களிப்பைக் கொடுத்துள்ளனர். மேலும் முதலாம் பாஸ்கரரே தன் உரையின் வாயிலாக ஆர்யபடரின் வடிவ கணிதப் பகுதியில் மேலும் பல தகவல்களைச் சேர்த்து, இப்பகுதியைச் செழுமை செய்கிறார். எனவே வடிவ கணிதப் பகுதியைப் பொருத்தமட்டில் முதலாம் பாஸ்கரரின் பங்களிப்பையும் சேர்த்தே கவனிப்போம்.
முதலாவதாக எளிமையான முக்கோணம். நாம் பள்ளிக்கூடத்தில் காணும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பற்றிய சமன்பாட்டுடன்தான் ஆர்யபடர் இப்பகுதியைத் தொடங்குகிறார். இந்தச் சமன்பாடு இந்தியப் பாரம்பரியத்தில் பல நூற்றாண்டுகளாக ஏற்கெனவே இருந்ததுதான். சுல்ப சூத்திரங்களில் ஒரே பரப்பளவு கொண்ட பல்வேறு வடிவங்களை உருவாக்குவதற்காண வழிமுறைகள் சொல்லப்பட்டிருக்கின்றன.
முதலில் ஆர்யபடரின் கூற்றைப் பார்த்துவிடுவோம்.
“த்ரிபுஜஸ்ய பலஶரீரம் சமதலகோடி புஜார்த சம்வர்க:”
இப்படித்தான் எழுத்துவடிவில் சமன்பாடுகள் தரப்பட்டன. த்ரிபுஜ – என்பதை எளிதில் விளங்கிக்கொள்ளலாம், மூன்று கரங்கள் கொண்டது. எனவே முக்கரம் (அ) முக்கோணம். சமதலகோடி என்றால் செங்குத்துக்கோடு. புஜம் ஏற்கெனவே பார்த்ததுபோல ஒரு கரம், இங்கே அடிப்பகுதியைக் குறிக்கும். ‘அர்த’ என்றால் அரை. ‘புஜார்த’ என்றால் அடிப்பகுதியின் நீளத்தில் அரை. இதனை செங்குத்தின் நீளத்தால் பெருக்கினால் கிடைப்பது முக்கோணத்தின் பரப்பு.
இதைத்தாண்டி ஆர்யபடர் வேறு எதையும் சொல்வதில்லை. நேரடியாக அடுத்த சமன்பாட்டுக்குச் சென்றுவிடுகிறார். அது முப்பரிமாணக் கூம்பு வடிவம். இதை அடுத்துப் பார்ப்போம்.
இப்போது முதலாம் பாஸ்கரரின் உரைக்கு வருவோம். ஆர்யபடரின் சமன்பாட்டை வார்த்தை வார்த்தையாக விளக்கிவிட்டு, பாஸ்கரர் சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருகிறார். சமபக்க முக்கோணம். அதன் ஒரு பக்கம் 7. அதன் பரப்பளவு என்ன?
இதென்ன? இதற்கான சமன்பாட்டை ஆர்யபடர் கொடுக்கவில்லையே? அவர் தந்திருப்பதை வைத்து, ஒரு முக்கோணத்தின் அடிப்பாகம், செங்குத்து இரண்டின் அளவும் தெரிந்தால்தானே செய்யமுடியும்?
பாஸ்கரர், இங்கே ‘புஜ கோடி கர்ண’ நியாயம் என்னும் தேற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறார்.
நாம் இதனைப் பள்ளிக்கூடத்தில் பிதாகோரஸ் தேற்றம் என்று படித்திருக்கிறோம். இந்தியப் பாரம்பரியத்தில் இது பௌதாயனர், ஆபஸ்தம்பர் போன்றோரின் சுல்ப சூத்திரங்களில் காணப்படுகிறது. பின்னர் ஆள் பெயர் ஏதும் இல்லாமல் புஜ-கோடி-கர்ண நியாயம் என்று வழங்கப்படுகிறது.
இதன் பொருள், ஒரு செங்கோண முக்கரத்தில், புஜத்தின் வர்கமும் கோடியின் (செங்குத்து) வர்கமும் சேர்ந்தால் கிடைப்பது கர்ணத்தின் (மூலைவிட்டத்தின்) வர்கம்.
இதனைப் பயன்படுத்தி, சமதலகோடி – செங்குத்துக்கோட்டின் (h) நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்கச் சொல்கிறார். சமபக்க முக்கோணம் என்றால்,
h^2 = 7^2 - (3.5)^2இந்தக் குறிப்பிட்ட கணக்குக்கு h=6.0621 என்று வரும். இதனை அடிப்பக்கத்தின் பாதியால் பெருக்க, A = 21.22 என்று வரும்.
இதைப்போன்றே இரு சமபக்க முக்கோணங்களையும் கையாளலாம். அங்கும், செங்குத்துக் கோட்டின் நீளத்தை புஜகோடிகர்ண நியாயத்தைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடித்துவிட முடியும்.
அவ்வாறு இல்லாமல், மூன்று பக்கத்துக்கு வெவ்வேறு அளவுகள் இருந்தால் என்ன செய்வது? அப்படிப்பட்ட முக்கோணங்களை பாஸ்கரர் ‘த்ரிபுஜக்ஷேத்ர’ என்கிறார். ஓர் உதாரணம் கொடுத்து, அதனை மேற்கொண்டு விவரிக்கிறார்.
இப்படிப்பட்ட முக்கோணங்களில் “இரண்டு பக்கங்களின் வர்கங்களின் வித்தியாசம், அடிப்பாகத்தின் இரண்டு துண்டுகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்களின் பெருக்கல்”!
இப்படியெல்லாம் சொன்னால் ஒன்றும் புரியாது என்பதால் இதனைத் தருவிப்போம்.
இங்கே இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன. புஜகோடிகர்ண நியாயத்தைப் பயன்படுத்தினால்,
h^2 = b^2 - p^2 = c^2 - q^2அல்லது,
c^2 - b^2 = q^2 - p^2 = (q+p)(q-p) = a(q-p)இதுதான் பாஸ்கரர் மேலே கொடுத்திருப்பது. இரண்டு பக்கங்களில் வர்கங்களின் வித்தியாசம்தான், செங்குத்து அடிப்பகுதியை இரண்டாகப் பிரித்திருக்கும் இரு துண்டுகளின் வர்கங்களின் வித்தியாசமும். அதிலிருந்து கீழே உள்ள இரு துண்டுகள் p, q ஆகியவற்றின் வித்தியாசத்தை எழுதிவிட முடியும்.
q-p = \frac{c^2 - b^2}{a}எனவே,
q = \frac{1}{2} (a + \frac{c^2 - b^2}{a}) p = \frac{1}{2} (a - \frac{c^2 - b^2}{a})இதுமட்டுமல்லாமல், h-ஐயும் இதிலிருந்து தருவித்துவிடலாம். உடனே A = 0.5*a*h என்பதன்மூலம் பரப்பளவையும் கண்டுபிடித்துவிடலாம்.
பாஸ்கரர் கொடுத்துள்ள 15, 13, 14 முக்கோணத்தில் இவற்றைச் செய்தால்,
p^2 - q^2 = 15^2 - 13^2 = 56 = (p+q)(p-q) = 14(p-q) p - q = \frac{56}{14} = 4இவற்றைச் சேர்த்து விடை கண்டுபிடித்தால், p=9, q=5.
எனவே உயரத்தை (h) கண்டுபிடிக்க,
15^2 - 9^2 = h^2 = 144அல்லது, h=12.
எனவே இந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவு A = (0.5)(14)(12) = 84
*
இந்த அருமையான விவரங்கள் அனைத்தும் உரையாசிரியரிடமிருந்துதான் வருகின்றன. ஆர்யபடர் இவை எவற்றையும் தருவதில்லை. அடுத்த வாரம் நாம், சிலவகைக் கூம்புகளின் கொள்ளளவைப் பற்றி ஆர்யபடர் என்ன சொல்கிறார் என்று பார்ப்போம்.
(தொடரும்)
