இரு பரிமாணத்தின் முக்கோணம்-முக்கரம், நாற்கரம் என்று தொடங்கி ஐங்கரம், அறுகரம் என்று எண்ணற்ற வடிவங்களை உருவாக்க முடியும். இதில் முக்கரத்தின் பரப்பளவு குறித்துச் சென்ற வாரம் பார்த்தோம். இத்தொடரின் ஆரம்பத்திலேயே சமசதுரஶ்ரம் எனப்படும் சதுரத்தின் பரப்பளவு குறித்தும் பார்த்தோம். செவ்வகம் அல்லது ஒழுங்கற்ற நாற்கரம் குறித்து ஆர்யபடர் ஒன்றும் சொல்வதில்லை.
இங்கிருந்து முப்பரிமாண வடிவங்களுக்குள் நுழைகிறார். மிக எளிதான ஒழுங்கமைதி கொண்ட, விளிம்புகளைக் கொண்ட வடிவம் நான்முகம் எனப்படும். ஆங்கிலத்தில் Tetrahedron. இதன் நான்கு முகங்களுமே ஒரு முக்கரமாக இருக்கும். இவ்வடிவத்தைத் தரையில் வைத்தால், கீழ்ப்பகுதி முக்கரமாகத் தொடங்கி மேலே ஒரு புள்ளியில் முடியும். இதன் எந்த ஒரு குறுக்குவெட்டுமே முக்கரமாக இருக்கும்.
அதற்கு அடுத்து, நாற்கூம்பு எனப்படும் பிரமிடைச் சொல்லலாம். இதன் அடிப்பகுதி சதுரமாக அல்லது செவ்வகமாகக்கூட இருக்கலாம். அப்படியே மேலே செல்லச் செல்லச் சுருங்கி ஒரு புள்ளியில் போய் முடியும்.
இதனைப்போன்றதே, அடிப்பகுதி ஒரு வட்டமாக இருந்து, மேலே செல்லச்செல்லச் சுருங்கி ஒரு புள்ளியில் போய் முடியும் கூம்பு வடிவம்.
இன்னும் சொல்லப்போனால் அடிப்பகுதியானது எந்தவொரு ஒழுங்கற்ற வடிவமாக வேண்டுமானாலும் இருந்துவிட்டுப் போகட்டும். ஆனால் அடிப்பகுதியிலிருந்து சீராக, நேர்க்கோட்டு விகிதத்தில் குறுக்குவெட்டின் பரப்பளவு சுருங்கிக்கொண்டே போய் ஒரு புள்ளியில் முடிகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியானால் இந்த வடிவத்தின் கொள்ளளவு (Volume) என்ன?
ஆர்யபடர், இந்த வடிவின் கொள்ளளவானது, அடிப்பகுதியின் பரப்பளவை அதன் உயரத்தால் பெருக்கி, பாதியாக்கினால் வருவது என்று சொன்னார்.
உரையாசிரியர் முதலாம் பாஸ்கரரும் அப்படியே அதனைத் தன் உரையில் திருப்பிச் சொன்னார். சமன்பாட்டு வடிவில் பார்த்தால்,
V = \frac{1}{2} A hஆனால் இது தவறானது. இந்தத் தவறை ஆர்யபடர் செய்திருந்தாலும் முதலாம் பாஸ்கரர் திருத்தியிருக்கவேண்டும். செய்யவில்லை. இதனைப் பற்றி எழுதும் சில சமகால வரலாற்றாளர்கள், இதனை இந்திய முறைமையின் கோளாறு என்று குற்றம் சாட்டுகிறார்கள். ஆர்யபடர் விரிவாக, நிரூபணங்களுடன் எழுதியிருந்தால் அவரே தவறைக் கண்டுபிடித்திருப்பார். அல்லது முதலாம் பாஸ்கரர், கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டை நிரூபிக்க முனைந்திருந்தால், அந்தத் தவறைக் கண்டுபிடித்திருப்பார். அவ்வாறு செய்யாதது இந்தியாவின் ஒட்டுமொத்தக் கோளாறு என்பதுபோல இந்த வாதங்கள் போகின்றன.
ஆனால் உண்மையில் முதலாம் பாஸ்கரரின் சமகாலத்தவரான பிரம்மகுப்தர் இந்தச் சமன்பாட்டின் குறையைக் கண்டுபிடித்ததோடு, சரியான விடையையும் கொடுத்திருந்தார்.
V = \frac{1}{3} A hஎன்பதுதான் சரியான விடை.
முதலாம் பாஸ்கரர் இதனைத் தொடர்ந்து ஒவ்வொரு விளிம்பும் சரியாக 12 அளவுள்ள சமவிளிம்பு நான்முகம் ஒன்றைக் கொடுத்து இதன் கொள்ளளவைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா என்ற கேள்வியை எழுப்புகிறார்.
இதற்கு, ஒரு சமபக்க முக்கரத்தின் மையப்புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்கவேண்டும். அதன்பிறகு ஒழுங்கான நான்முகத்தின் உயரத்தைக் கண்டுபிடிக்கவேண்டும்.
இதற்கான அடிப்படை, மீண்டும் மீண்டும் புஜகோடிகர்ண நியாயத்தைப் பயன்படுத்துவதுதான். ஆனால், முக்கரங்கள் குறித்த மேலும் சில புரிதல்களும் அவசியம். அவற்றை நாம் இந்தத் தொடரில் இதுவரை அறிமுகப்படுத்தியதில்லை என்றாலும் இந்தப் பதிவுக்காக அவற்றை நிரூபணங்கள் ஏதும் இன்றிப் பார்த்துவிடுவோம். பாஸ்கரர் சில ஊகங்களைச் சொல்லி இந்த வினாவுக்கான விடையை எழுதுகிறார். ஆனால் அது தவறானது என்பதால் நாம் அவருடைய வழிமுறைக்குள் போகவேண்டாம்.
ஒரு சமபக்க முக்கரத்தில் மையப்புள்ளி, அதன் ஒரு முனையிலிருந்து எந்தத் தொலைவில் இருக்கும்? ஒவ்வொரு பக்கமும் a என்ற நீளம் கொண்டது என்றால், செங்குத்துக் கோட்டின் (altitude) நீளம் c என்றால்,
c = \frac{\sqrt{3}}{2} aஎன்று ஆகும். மையப்புள்ளி என்பது இந்தக் கோட்டில் 2:1 என்ற இடத்தில் இருக்கும். இதனை நீங்களே எப்படி நிரூபிப்பது என்று பாருங்கள். முதலாம் பாஸ்கரர் இதனை மறைமுகமாகக் குறிப்பிடுகிறார். ஆனால் தெளிவாக வழிகாட்டுவதில்லை. எனவே
b = \frac{a}{\sqrt{3}}என்று ஆகிறது.
அடுத்து, இதனைக் கொண்டு நான்முகத்துக்கு உயரம் என்ன என்று கண்டுபிடிக்கலாம். புஜகோடிகர்ண நியாயத்தின்படி,
h^2 = a^2 - b^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}அல்லது,
h =\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு,
A =\frac{1}{2} a c = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2நான்முகத்தின் கொள்ளளவு,
V = \frac{1}{3} A h = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}} = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}ஒரு பக்கம் 12 என்றால், விடை சுமாராக 203.65 என்று வரும்.
இது நிச்சயமாக ஆறாம் நூற்றாண்டில் நம் கணித நிபுணர்களுக்கு அப்பாற்பட்டது அல்ல. ஆனாலும் பாஸ்கரர் இந்த விடையை அடைவதில்லை.
ஆனைக்கும் அடி சறுக்கும்தானே?
அடுத்து நாம் வட்ட வடிவை நோக்கிச் செல்கிறோம்.
(தொடரும்)
