ஆர்யபடரின் கணிதம் #18 – பொதுவான நாற்கரம்

சென்ற வாரம் பாஸ்கரர் கொடுத்திருந்த சில கணக்குகளைக் கொடுத்து விடைகள் கண்டுபிடிக்கச் சொல்லிக் கேட்டிருந்தேன். அவற்றுக்கான விடைகளை இப்போது பார்ப்போம்.
(அ) தரை (கீழ்ப்பகுதி) 14, முகம் (மேல்பகுதி) 4, இரண்டு சாய்கரங்களும் 13. பரப்பளவைக் கண்டுபிடியுங்கள்.

மேலே உள்ள படத்தில், h-ஐக் கண்டுபிடித்தால்தான் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க முடியும். அதற்கு, முதலில் a-ஐக் கண்டுபிடிக்கவேண்டும். இங்கே அது எளிதானதுதான்.
2a + 4 = 14
அல்லது,
a = 5
எனவே,
h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12
எனவே,
A = (\frac{14+4}{2})(12) = 108
அடுத்த இரண்டும், இதேபோலத்தான்.
(ஆ) தரை 21, முகம் 9, இரண்டு சாய்கரங்களும் 10. பரப்பளவு என்ன?

இங்கே
a = 6
h = 8
A = 120

(இ) தரை 33, மற்ற மூன்று கரங்களும் 17. பரப்பளவு?

a = 8
h = 15
A = 375

(ஈ) தரை 19, முகம் 5, இரு சாய்கரங்களும் 13, 15. பரப்பளவைக் கண்டுபிடி.

இங்கே மேலே செய்ததுபோல எளிதாக விடையைக் கண்டுபிடித்துவிட முடியாது.
a+b+5 = 19
அல்லது,
a+b = 14
அடுத்து,
h^2 = 13^2 - a^2 = 15^2 - b^2
அல்லது,
b^2 - a^2 = (b+a)(b-a) = = 14(b-a) = 15^2 - 13^2 = 56
அல்லது,
b-a = 4
இதிலிருந்து நமக்குக் கிடைப்பது,
b = 9, a = 5, h = 12
எனவே,
A = (\frac{5+19}{2})(12)=144

***

ஆர்யபடர் இதற்குமேல் ஒன்றும் சொல்லவில்லை. முக்கோணவியல் பகுதிக்குள் நுழைந்துவிடுகிறார். நாமும் அடுத்து அதைத்தான் பார்க்க உள்ளோம். ஆனால் அதற்குமுன், இத்துறையில் என்ன நடந்தது என்பதைக் கொஞ்சம் பார்த்துவிடுவோம்.

சதுரம், செவ்வகம் இரண்டுக்கும் பரப்பளவு கண்டுபிடிப்பது எளிது. இப்போது சரிவகத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதையும் பார்த்துவிட்டோம். சாய்சதுரத்துக்கும் இதே சமன்பாடுதான். பொதுவான நாற்கரத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்கவேண்டும் என்றால் என்ன செய்வது?

தோராயமான மதிப்பீட்டைச் செய்ய சரிவகத்தின் சமன்பாட்டை அடுத்துவந்தவர்கள் கொஞ்சம் நீட்டித்தனர்.

மேலே உள்ளதுபோன்ற பொதுவான நாற்கரம் இருந்தால், அதன் பரப்பளவைத் தோராயமாக,

என்று மதிப்பிடலாம் என்று பிரம்மகுப்தர் குறிப்பிட்டார். அடுத்து அவரே, துல்லியமாகக்கூட இதனைக் கண்டறியலாம் என்றார். அதற்கான சமன்பாடாக அவர் கொடுத்தது,

இதில்,

இந்தச் சமன்பாடு உண்மையில் சரியா, இல்லையா என்பது குறித்து ஒரு பெரும் சர்ச்சை வெடித்தது. ஆர்யபடரின் வழித்தோன்றல்கள், இந்தச் சமன்பாடு தவறு என்று வாதிட்டனர். நான்கு பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் கொடுத்தால் போதாது, அதன் ஒரு மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தைக் கொடுத்தாலும் போதாது. நான்கு பக்கங்கள், இரு மூலைவிட்டங்கள் என அனைத்தையும் கொடுத்தால்தான் ஒரு நாற்கரத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்றனர்.

இரண்டாம் பாஸ்கரர், ‘நான்கு பக்கங்களை மட்டும் கொடுத்துவிட்டு, உயரங்களையோ மூலைவிட்டங்களையோ கொடுக்காமல் நாற்கரத்தின் பரப்பளவைக் கேட்பவனும் சரி, பதில் சொல்பவனும் சரி, முட்டாள், அல்லது பிசாசு’ என்கிறார்.

பிரம்மகுப்தர் முட்டாளா, பிசாசா?

அடுத்த வாரம் பார்ப்போம்.

(தொடரும்)