நாம் ஐந்தாம் நூற்றாண்டில் இருக்கிறோம் என்பதைக் கவனத்தில் வையுங்கள். இப்போது நாம் பயன்படுத்தும் கணிதக் குறியீடுகள் – x, y, z, வர்க/கனக் குறியீடுகள் எவையும் கிடையாது.
ஆனாலும் ஈருறுப்பு விரிவாக்கம் (Binominal expansion), இருபடிச் சமன்பாடுகளை (Quadratic equation) கையாளுதல் ஆகியவை ஆர்யபடருக்கு நன்கு தெரிந்திருந்தது என்பதை ஏற்கெனவேயே பார்த்துவிட்டோம்.
இங்கே இரண்டு பாக்களில் (23, 24) அவற்றை ஆர்யபடர் மீண்டும் எடுத்துக்கொள்கிறார்.
இரண்டு எண்கள் உள்ளன (a, b); அவற்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் வர்கம் தெரிந்தால், அந்த எண்களின் பெருக்குத் தொகையை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்ற சமன்பாட்டை ஆர்யபடர் தருகிறார்.
அதாவது, a b = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{2}
இதைத் தருவிப்பது மிக எளிது. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
என்பதிலிருந்து தொடங்கவேண்டும். இதிலிருந்து, 2ab = (a+b)^2 - (a^2 + b^2)
என்பது கிடைக்கும். அதிலிருந்து நமக்குத் தேவையான விடை கிடைத்துவிடும்.
இந்தச் சமன்பாட்டில் நமக்குச் சிறப்பாக எதுவும் கிடைப்பதில்லை. இதற்கென தனியாக ஈரடிப் பா ஒன்றை எழுதவேண்டிய தேவை இருப்பதாகத் தெரியவும் இல்லை. உரையாசிரியர் பாஸ்கரர், இதற்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகளையும் கொடுக்கிறார். அவை எல்லாம் தலையைச் சுற்றி மூக்கைத் தொடுபவையே.
உதாரணமாக, ஐந்தையும் நான்கையும் கொடுத்துப் பெருக்கச் சொல்கிறார். அதை மேலே உள்ள சமன்பாட்டின்படிச் செய்யவேண்டும் என்றால், ஐந்தையும் நான்கையும் கூட்டி, அதன் வர்கத்தை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும் (81). அடுத்து அதிலிருந்து ஐந்தின் வர்கத்தையும் (25) நான்கின் வர்கத்தையும் (16) கழிக்கவேண்டும். 81-25-16=40. இதனை இரண்டால் வகுத்தால் கிடைப்பது 20.
ஐந்தையும் நான்கையும் பெருக்கி விடைகாண ஏன் இவ்வளவு தலை சுற்றல் என்று ஒரு மாணவர் கேட்கலாம். இங்கே இதுபோன்ற கணக்குகள் முக்கியமில்லை. குறியீடுகளை வைத்துக்கொண்டு அவற்றை இங்கேயும் அங்கேயுமாக நகர்த்தமுடியும் என்பதுதான் முக்கியம்.
அடுத்த பா, இதைவிட முக்கியமானது. இரண்டு எண்கள், x, y ஆகியவற்றை எடுத்துகொள்ளுங்கள். இதில், x > y என்று வைத்துக்கொள்ளுங்கள். இப்போது x-y, xy ஆகிய இரண்டையும் கொடுத்தால், x, y இரண்டையும் தனித்தனியாகக் கணக்கிட முடியுமா?
ஆர்யபடரின் 24-வது பா, இதற்கான விடையைத் தருகிறது. இதைத் தருவிப்பது எளிது. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர் ஒருவர், பாடப்புத்தகத்தில் இது வந்திருக்காவிட்டாலும் இதனைச் செய்ய முடியும். நீங்கள் கணித ஆசிரியராக இருந்தால் இதனை உங்கள் ஒன்பதாம், பத்தாம் வகுப்பு மாணவர்களிடம் செய்யச் சொல்லிப் பாருங்கள்.
x-y = a xy = bஎன்று வைத்துக்கொள்ளுங்கள். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து y = x-a
இதனை இரண்டாம் சமன்பாட்டில் பொருத்தினால், x(x-a) = b
அல்லது, x^2 - ax - b = 0
இப்போது நமக்கு இருபடிச் சமன்பாடு ஒன்று கிடைத்துவிட்டது. நமக்கு இதன் விடை தெரியும் என்று எடுத்துக்கொள்வோம். ஆர்யபடருக்கும் நன்றாகத் தெரியும். இதனைக் கொண்டுதான் கூட்டுத் தொடரில் கூட்டுத்தொகை தெரிந்தால் எத்தனை உறுப்புகள் அந்தத் தொடரில் உள்ளன என்பதை அவர் கண்டுபிடித்திருந்தார். எனவே, அந்தச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது: x = \frac{\sqrt{a^2+4b}+a}{2}
இதனை y-க்கான சமன்பாட்டில் பொருத்தினால், கிடைப்பது: y = \frac{\sqrt{a^2+4b}-a}{2}
கூட்டுத்தொடர் குறித்த பதிவில் பிரம்மகுப்தரின் பெயரைக் குறிப்பிட்டு, அவர்தான் முதன்முதலில் ax^2 + bx + c = 0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலம் என்பது x= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} என்று வெளிப்படையாகக் கொடுத்திருந்தார் என்று குறிப்பித்திருந்தேன். ஆனால் பிரம்மகுப்தருக்கு முன்பாகவே ஆர்யபடர் தொடர்ந்து இதனைப் பயன்படுத்திவந்துள்ளார் என்பது மிகத் தெளிவாகத் தெரிகிறது.
எப்போதும்போல உரையாசிரியர் பாஸ்கரர் இதற்கும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுத்துவிடுகிறார். இரு எண்களின் பெருக்குத்தொகை 8, அவற்றின் வித்தியாசம் 2; அந்த எண்கள் யாவை (விடை 4, 2). பெருக்குத் தொகை 18, வித்தியாசம் 7; அந்த எண்கள் யாவை (விடை 9, 2).
இந்தக் கணக்குகளைச் செய்ய சமன்பாடுகள் அவசியம் இல்லை. மனக்கணக்காக செய்துபார்த்தாலே வந்துவிடும். ஆனால் சற்றே பெரிய எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால் நீங்கள் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தியே ஆகவேண்டும்.
இந்தச் சமன்பாடுகளை எங்கே ஆர்யபடர் பயன்படுத்தினார், இவற்றுக்கான தேவை எங்கே இருந்தது என்பது நமக்குத் தெரியவில்லை. பாஸ்கரரும் சொல்வதில்லை.
ஆனால் அடுத்து 25-ம் பாவில், ‘முதலும் வட்டியும்’ கணக்கு ஒன்றை ஆர்யபடர் தருகிறார். இது பொதுவாக நாம் பள்ளிக்கூடங்களில் தரும் தனிவட்டி அல்லது கூட்டுவட்டி அல்ல. ஒரு மாதிரியான தனிவட்டி. இதுதான் ஆர்யபடர் தரும் கணக்கு.
“ஒரு குறிப்பிட்ட மூலத்தொகைக்கு (P) ஒரு மாதத்துக்குத் தனி வட்டி குறிப்பிட்ட வட்டி விகிதத்தில் கிடைக்கிறது. அவ்வாறு கிடைத்த வட்டித் தொகை, அதே வட்டிவிகிதத்தில் T மாதங்களுக்கு மீண்டும் வட்டிக்குத் தரப்படுகிறது. மொத்த வட்டித்தொகை இத்தனை என்றால், வட்டி விகிதம் என்ன என்று கண்டுபிடிக்க முடியுமா?”
இந்தத் தரவுகளைக் கொண்டு சமன்பாட்டை எழுதினால் நமக்குக் கிடைப்பது இருபடிச் சமன்பாடு ஒன்று. அதன்மூலம் வட்டி விகிதத்தை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்பதை ஆர்யபடர் சமன்பாடாகத் தருகிறார். இதற்குள் நாம் போகவேண்டாம். ஏனெனில் இன்று நாம், தனிவட்டி அல்லது கூட்டுவட்டி என்ற முறையில் மட்டுமே செயல்படுகிறோம். ஆர்யபடரின் கணக்கு, சற்றே வலிந்து, இருபடிச் சமன்பாடு ஒன்றை உருவாக்கியே தீரவேண்டும் என்பதுபோலச் செயல்பட்டதாகத் தெரிகிறது.
இதுவரையில் நாம் முழு எண்களை மட்டும்தான் பார்த்திருந்தோம். அடுத்த வாரம், பின்னங்கள் குறித்துப் பார்ப்போம்.
(தொடரும்)
