ஆர்யபடரின் செயல்முறையைச் சொல்லியாயிற்று. அதனைக் கொண்டு ஆய்லர் கொடுத்த குதிரை, காளைக் கணக்கைச் செய்துபார்ப்போம்.
y = \frac{31 x +7}{20}முதல் படி – பரஸ்பர வகுத்தல்
இரண்டாம் படி – மதி
முதல் வகுத்தலைக் கணக்கில் எடுக்காமல், இரட்டைப்படையாகத் தாவி இப்போது நிறுத்தியுள்ள இடத்தில் நிறுத்திவிட்டு, கடைசியாகக் கிடைத்துள்ள இரண்டு மீதங்களையும் பார்ப்போம்: 2, 9. இப்போது மதி ‘m’-ஐ ஊகிப்போம்:
q = \frac{2 m + 7}{9}m=1 என்று ஊகித்தால், q=1 என்ற விடை கிடைக்கிறது.
மூன்றாம் படி – வல்லி உபசம்ஹாரம்
நான்காம் படி – விடை
x=3; y=5
இதைத்தான் நாம் ஏற்கெனவே செய்திருந்தோம். அதைப் படிப்படியாகப் பார்த்தீர்கள் என்றால் மேலே செய்ததும் முன்னர் செய்ததும் ஒன்றுதான் என்பது புரியவரும். இதன் உண்மையான பலன், சற்றே கடினமான கணக்குகளைச் செய்யும்போது வரும்.
முதலாம் பாஸ்கரர், ஆர்யபடீயத்துக்கு உரை எழுதியதுமட்டுமின்றி, மஹாபாஸ்கரீயம், லகுபாஸ்கரீயம் என்னும் இரு வானியல் நூல்களை எழுதியுள்ளார். லகுபாஸ்கரீயத்திலிருந்து ஒரு கணக்கை எடுத்துக்கொள்வோம். அதிலும் வானியல் பகுதிகளை விட்டுவிட்டு கணிதத்தை மட்டும் கையில் எடுத்துக்கொள்வோம். சனிக்கோள் சூரியனைச் சுற்றிவருவது குறித்தும், தன்னைத்தானே சுற்றிக்கொள்வது குறித்துமான ஒரு கணக்கு இது. இறுதியில் கீழ்க்கண்ட குட்டகக் கணக்கில் வந்து நிற்கும்.
x = \frac{394479375 y + 24}{36641}நிஜமாகவே இந்த எண்கள் கணக்கில் வருகின்றன. நானாக அடித்துவிடவில்லை. நாம் கடந்த இரு வாரங்களில் பார்த்த பெரிய எண்ணிக்கை கொண்ட கணக்கும்கூட முதலாம் பாஸ்கரரின் ஆர்யபடீய உரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஓர் எடுத்துக்காட்டிலிருந்து வருவதுதான். பாம்பு கீரி சண்டையைப் போல அதனை நான் காண்பித்துக்கொண்டே இருப்பேன். இந்த வாரமும் அதனை நாம் தீர்க்கப்போவதில்லை. இன்னொரு வாரம் எடுக்கும். இப்போது மேலே உள்ள கணக்குக்கு வருவோம்.
முதல் படி – பரஸ்பர வகுத்தல்
பெரிய பெரிய எண்களாக இருந்தாலுமே ஐந்து வகுத்தல்களில் இரண்டு சிறிய மீதங்கள் நமக்குக் கிடைத்துவிட்டன. இப்போது மதியைக் கண்டுபிடிப்பது கடினமாக இருக்காது.
இரண்டாம் படி – மதி
q = \frac{3 m + 24}{7}இங்கே m=6 என்பதைப் பொருத்தினால், q=6 என்பது கிடைக்கிறது. இந்தக் கணக்கை மனக்கணக்காகச் செய்ய உங்களால் முடியவில்லை என்றால், மேலும் இரண்டு வகுத்தல்களை மேலே செய்தால் முடிந்துவிடும். இப்போது வல்லியை உருவாக்க நம் கையில் இருப்பது: 15, 2, 7, 22, 6, 6
மூன்றாம் படி – வல்லி உபசம்ஹாரம்
நான்காம் படி – விடை
32202 என்பதுதான் y-இன் மிகச் சிறிய விடை. இதனை மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பொருத்தினால், கிடைப்பது, பயந்துவிடாதீர்கள்… x = 346688814!
அடுத்து, கீழ்க்கண்ட கணக்குக்கு வருவோம்:
78898 x = 2155625 y + 1093750அல்லது,
x = \frac{2155625 y + 1093750}{78898}இது முதலாம் பாஸ்கரரின் ஆர்யபடீய உரையில் வரும் ஓர் எடுத்துக்காட்டு வானியல் கணக்கு. இவ்வாறாகச் செல்லும்:
“சூரியன் ஞாயிற்றுக்கிழமை அன்று உதிக்கும் ஒரு நாளில், சூரியனையும் சந்திரனையும் துலா ராசியில் காணமுடிகிறது. சூரியனின் சராசரி தீர்க்கரேகை 12 பாகை, 1 நிமிடம், 17 நொடி. சந்திரனின் சராசரி தீர்க்கரேகை 2 பாகை, 39 நிமிடம், 42 நொடி. எத்தனை நாள் கழித்து, தலா வியாழன், வெள்ளி, சனிக்கிழமைகளில் சூரியன் உதயமாகும்போது இதே தீர்க்கரேகைகளில் சூரியனும் சந்திரனும் காணப்படும்?”
இதனுள்ளே தீவிரமாகப் புகுவதற்கு நமக்கு வானியல் தெரிந்திருக்கவேண்டும். ஆனால் இதன் இறுதிக் கட்டத்தில் வரும் சில குட்டகக் கணக்குகளில் மேலே உள்ள கணக்கும் வரும். நாம் ஏற்கெனவே லகுபாஸ்கரீயத்தில் வந்த ஒரு கணக்கைச் செய்தோம். எனவே இதனைச் செய்வதில் என்ன பெரிய சிக்கல்? ஒரு பெரும் சிக்கல் 1093750 என்ற எண்ணில் இருக்கிறது. 2155625, 78898 ஆகிய இரண்டையும் கொண்டு பரஸ்பர வகுத்தல்களில் ஈடுபடும்போது அவை சிறிதாகிக்கொண்டே வரும். ஆனால் இந்த 1093750 அப்படியே குண்டுக்கட்டாக உட்கார்ந்திருக்கும். இதையும் ஏதோ ஒரு வழி செய்து சின்னஞ்சிறியதாக ஆக்கிவிட்டால் ‘மதி’யைக் கணக்கிடுவது எளிது.
இதற்குத்தான் இரண்டாம் ஆர்யபடர் ஒரு வழியைக் காட்டினார். அடுத்த வாரம் பார்ப்போம்.
(தொடரும்)
