Skip to content
Home » ஆர்யபடரின் கணிதம் #16 – வட்டம்

ஆர்யபடரின் கணிதம் #16 – வட்டம்

வட்டம்

வட்டம் என்பது ஆர்யபடருக்குப் பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பிருந்தே இந்தியாவிலும் பிற நாகரிகங்களிலும் ஆராயப்பட்டுள்ளது. வட்டம் என்பதுடன் கூடச் சேர்ந்தே வருவது ‘பை’ என்று அழைக்கப்படும் ஓர் எண். இதுவும் மிகத் தொன்மையான ஒன்று. ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதமே இந்த எண்ணாகும். எந்த ஒரு வட்டமானாலும் இந்தக் குறிப்பிட்ட விகிதம் மாறாமல் இருக்கிறது என்பதைக் கண்டறிந்ததே ஒரு மாபெரும் சாதனை. அடுத்து இந்த விகிதத்தைத் துல்லியமாகக் கணக்கிடுதல்.

இதனை எதிர்கொள்ளும்போதுதான் இது எவ்வளவு கடினமானது என்பது புரிந்தது. ஆரம்பத்தில் மிகத் தோராயமாக பை=3 என்று எடுத்துக்கொண்டார்கள். இந்தியப் பாரம்பரியத்தில் பலவிதமான தோராய எண்கள் முன்மொழியப்பட்டன. அதில் ஒன்று

\pi \approx \sqrt{10}

என்பது. முக்கியமாக ஜைனக் கணிஞர்கள் இந்தத் தோராயமான மதிப்பைப் பயன்படுத்தினர். இந்துக் கணிஞர்கள் சிலரும் பயன்படுத்தியுள்ளனர். ஆர்யபடர், அதுவரையில் பிற இந்தியர் எவரும் கொடுக்காத துல்லியத்துடன் பை-யின் மதிப்பைக் கொடுத்தார்.

அவருடைய வார்த்தைகளை அப்படியே பார்ப்போம்:

சதுரதிகம் ஶதம் அஷ்டகுணம் த்வாஷஷ்டிஸ் ததா சஹஸ்ராணாம்
அயுத த்வய விஷ்கம்பஸ்ய ஆஸன்னோ வ்ருத்த பரிணாஹ:

த்வாஷஷ்டிஸ் ததா சஹஸ்ராணாம் = 62,000
சதுரதிகம் ஶதம் = 100 + 4 = 104
சதுரதிகம் ஶதம் அஷ்டகுணம் =(104)(8) = 832

இவை அனைத்தையும் கூட்டினால் வருவது 62,832. இதுதான் ‘அயுத த்வய’ = (10,000)(2) = 20,000 என்பதை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சுற்றளவு.

அப்படியானால் பை என்பதன் மதிப்பு,

\pi = \frac{62832}{20000} = 3.1416

இது இந்தக் கட்டம் வரையில் யாராலும் கொடுக்கப்படாத துல்லியத்தில் இருக்கிறது.

இதை ஒருபக்கம் அப்படியே வைத்துக்கொள்வோம். அடுத்து ஆர்யபடர் வட்டத்தின் பரப்பளவு, கோளத்தின் கொள்ளளவு என இரண்டுக்குமான சமன்பாட்டைத் தருகிறார். வட்டத்தின் பரப்பளவு என்பது, அதன் சுற்றளவில் பாதியை அதன் விட்டத்தின் பாதியால் பெருக்கினால் கிடைப்பது. அதாவது,

A = \frac{C}{2}. \frac{d}{2} = \frac{\pi d}{2} \frac{d}{2} = \frac{\pi d^2}{4}

இதனையே ஆரத்தைக் கொண்டு சொல்வதானால்,

A =\pi r^2

என்று வரும். இது நமக்கு மிகவும் பரிச்சயமான ஒன்றாகும். இது மிகவும் சரியான ஒன்றும்கூட. இத்துடன் பை-யின் மிகத் துல்லியமான ஒரு மதிப்புடன் ஆர்யபடரால் வட்டம் தொடர்பான கணக்குகளை மிக நன்றாகவே செய்ய முடிந்தது.

அடுத்து ஆர்யபடர், கோளத்தின் கொள்ளளவுக்கான சமன்பாட்டை இவ்வாறு தருகிறார்: கோளத்தின் விட்டம் கொண்ட வட்டத்தின் பரப்பளவை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அதனை அதே எண்ணின் வர்கமூலத்தால் பெருக்குங்கள். கிடைப்பதுதான் கொள்ளளவு. சமன்பாடாக எழுதினால்,

V =(\pi r^2)(\sqrt{\pi r^2}) = \pi \sqrt{\pi} r^3

இது தவறான விடை. 33% அதிகமான கணிப்பு. சரியான விடை

V = \frac{4}{3} \pi r^3

என்பதுதான். இதனை உரையாசிரியர் முதலாம் பாஸ்கரர் கண்டுகொள்வதில்லை. பிரம்மகுப்தர் கண்டுகொள்வதில்லை. மஹாவீரரும் இரண்டாம் ஆர்யபடரும் சரியான விடைக்கு ஓரளவுக்கு நெருக்கமாக வரும் விடையைத் தருகிறார்கள், ஆனால் அவையும் தோராயமானவையே. ஆறு நூற்றாண்டுகள் கழித்து இரண்டாம் பாஸ்கரர்தான் சரியான விடையைத் தருகிறார்.

ஆனால் கிரேக்கரான ஆர்க்கிமெடிஸ் பொயுமு மூன்றாம் நூற்றாண்டிலேயே இவற்றைச் சரியாகத் தருவித்திருந்தார். அவருடைய வழிமுறைகள் இன்றும் ஆச்சரியம் தரக்கூடிய நுட்பத்தில் உள்ளன.

இப்போது மீண்டும் ஆர்யபடீயத்துக்கு வருவோம். உரையாசிரியர் முதலாம் பாஸ்கரர் சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுத்து, வட்டங்களின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்கிறார். பின் ஆர்யபடரின் தவறான சமன்பாட்டைக் கொண்டு சில கோளங்களின் கொள்ளளவையும் கண்டுபிடிக்கிறார்.

அடுத்து ஆர்யபடர் நாற்கரங்களை நோக்கித் தன் கவனத்தைச் செலுத்துகிறார். இதனை அடுத்த வாரம் பார்ப்போம்.

(தொடரும்)

பகிர:
பத்ரி சேஷாத்ரி

பத்ரி சேஷாத்ரி

பத்ரி சேஷாத்ரி, கிழக்கு பதிப்பகத்தின் பதிப்பாளர். சென்னை ஐஐடியில் இயந்திரப் பொறியியலில் இளநிலையும் அமெரிக்காவின் கார்னல் பல்கலைக்கழகத்தில் முனைவர் பட்டமும் பெற்றவர். இந்தியக் கணிதத்தில் ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்டிருக்கிறார். வரலாறு, தொழில்நுட்பம், இந்தியவியல் போன்ற துறைகளில் தீவிர ஆர்வம் கொண்டவர்.View Author posts

பின்னூட்டம்

Your email address will not be published. Required fields are marked *