பிரம்மகுப்தர், நாற்கரத்தின் பரப்பளவுக்கு இதுதான் துல்லியமான சமன்பாடு என்று கொடுத்ததை அடுத்தடுத்து வந்தவர்கள் ஏற்றுக்கொள்ளவில்லை. நான்கு பக்கங்களை மட்டும் வைத்துக்கொண்டு, ஒரு நாற்கரத்தை விரித்தோ சுருக்கியோ பல்வேறு பரப்பளவுகளை உருவாக்க முடியும் என்பதை அவர்கள் காட்டினார்கள். அதன் இறுதிப்புள்ளிதான் இரண்டாம் பாஸ்கரரின் கடுமையான வாதம். முட்டாளோ பிசாசோதான் மூலைவிட்டங்களைத் தராமல் வெறும் நான்கு பக்கங்களை மட்டும் தந்துவிட்டு பரப்பளவைக் கேட்பான் என்றார் அவர்.
ஆனால் இவர்கள் யாருமே பிரம்மகுப்தர் எம்மாதிரியான நாற்கரத்தைப் பற்றிச் சொன்னார் என்பதைப் புரிந்துகொள்ளவில்லை. பிரம்மகுப்தரின் உரையாசிரியரான சதுர்வேத பிரதூதகஸ்வாமின், பிரம்மகுப்தர் குறிப்பிடுவது வட்ட நாற்கரத்தை என்று உரையில் குறிப்பிடுகிறார்.
வட்ட நாற்கரம் என்றால்?
குறிப்பிட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு முனைகளையும் தொட்டவாறு ஒரு பிரத்யேக வட்டம் செல்லுமாறு அமைக்க முடியுமானால், அதுதான் ‘வட்ட நாற்கரம்’ (Cyclic Quadrilateral) எனப்படும். இதைச் சொல்லும்போதே, அனைத்து நாற்கரங்களும் வட்ட நாற்கரங்கள் அல்ல என்பது உங்களுக்குப் புரிந்துவிடும்.
ஏன் இப்படி?
ஒரு வட்டத்தைப் பிரத்யேகமாக முடிவு செய்ய மூன்று வெவ்வேறு புள்ளிகள் தேவை. ஏதேனும் மூன்று புள்ளிகளைக் கொடுத்துவிட்டால் அவை அனைத்தின் வழியாகவும் செல்லக்கூடிய ஒரு பிரத்யேக வட்டத்தை நாம் உருவாக்கிவிடலாம். ஆனால் நான்கு புள்ளிகளைக் கொடுத்தால், அந்த நான்கின் ஊடாகச் செல்லக்கூடிய ஒரு வட்டம் இருக்கலாம், இல்லாமலும் போகலாம்.
ஒருவேளை நான்கு புள்ளிகளையும் தொட்டுச் செல்லக்கூடியமாதிரி ஒரு வட்டத்தை வரையக்கூடும் என்றால், அந்தப் புள்ளிகளை இணைத்தால் கிடைக்கும் நாற்கரத்துக்குத்தான் வட்ட நாற்கரம் என்று பெயர். கவனியுங்கள், அனைத்து நாற்கரங்களும் இப்படிப்பட்டவை அல்ல. சில நாற்கரங்கள் மட்டுமே வட்ட நாற்கரம் என்ற அடிப்படைக்குள் வரக்கூடியவை.
அப்படிப்பட்ட வட்ட நாற்கரங்களுக்கு என்று பல சுவையான பண்புகள் உண்டு. இந்தப் பண்புகளை மட்டுமே வைத்துக்கொண்டு அடுத்த பல வாரங்களுக்கு நாம் பேச முடியும். ஆனால் அதற்கான நேரம் இதுவல்ல.
இப்படி ஒரு நாற்கரம் நம்மிடம் கிடைத்துவிட்டால், இதற்கான பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க வெறும் நான்கு பக்கங்கள் போதும்! மூலைவிட்டங்கள் தேவையில்லை. உயரங்கள் தேவையில்லை. பரப்பளவைத் துல்லியமாகச் சொல்லிவிட முடியும். அந்தச் சமன்பாட்டைத்தான் பிரம்மகுப்தர் கண்டுபிடித்தார்.
இது உண்மையிலேயே ஆச்சரியகரமான சாதனை. இதற்குச் சுமார் ஐந்நூறு ஆண்டுகளுக்கு முன்பாகவே, கிரேக்கரான ஹெரோ என்பவர் (Hero of Alexandria) முக்கரங்களின் மூன்று பக்கங்களையும் கொடுத்தால், அதன் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்ற சமன்பாட்டைக் கொடுத்திருந்தார். தாலமி போன்ற கிரேக்கர்கள் வட்ட நாற்கரத்தை வைத்துச் சில ஆராய்ச்சிகளைச் செய்திருந்தனர். ஆனால் அதற்கான பரப்பளவைத் தருவிக்கவில்லை. பிரம்மகுப்தர் அதனைத்தான் சாதித்திருந்தார்.
பிரம்மகுப்தர் அத்துடன் நிற்கவில்லை. வட்ட நாற்கரத்தின் பல்வேறு பண்புகளை ஆராய்ந்தார். வட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களையும் கொடுத்தால் அதன் மூலைவிட்டங்களைத் தருவிக்கமுடியுமா என்று பார்த்தார். நான்கு பக்கங்களைக் கொடுத்தால் அவற்றை மாற்றி மாற்றி அமைப்பதன்மூலம் எத்தனைவிதமான வட்ட நாற்கரங்களை உருவாக்க முடியும் என்று பார்த்தார். இந்தமாதிரியான வட்ட நாற்கரங்களின் பக்கங்கள் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் அனைத்தும் முழு எண்களாக இருக்கக்கூடுமா என்று ஆராய்ந்தார். செங்கோண முக்கரங்களின் மூன்று பக்கங்களும் முழு எண்களாக இருக்குமாறு உற்பத்தி செய்ய எண்களை அள்ளித்தரும் ஒரு சார்பைக் கண்டுபிடித்தார். அதையே நீட்டித்து வட்ட நாற்கரங்களுக்குக் கொண்டுசென்றார்.
பிரம்மகுப்தரின் வடிவ கணிதம் குறித்துப் பேச இந்த இடமும் போதாது, இப்போது நேரமும் கிடையாது.
மேலும் இந்தப் பக்கங்களில் வட்ட நாற்கரத்துக்கான பரப்பளவுச் சமன்பாட்டினை நிரூபிக்கவும் நாம் முயலப்போவதில்லை. ஆர்யபடரின் கணிதத்தை முடித்துவிட்டு பிரம்மகுப்தரைத் தனியாகக் கையில் எடுப்போம்.
அடுத்த வாரத்திலிருந்து, ஆர்யபடரின் வட்டத்தை மீண்டும் தொட்டு, கோணத்தைப் பார்வையிட்டுவிட்டு, கோணவியலுக்குள் நுழைந்துவிடுவோம்.
(தொடரும்)
