ஆர்யபடரின் கணிதம் #20 – கோணவியல்

இந்தியக் கணிதத்தில் ஆர்யபடருக்கு முன்னமேயே கோணவியல் இருந்தது. எனவே இப்போது நாம் பார்க்கப்போவதையெல்லாம் ஆர்யபடர்தான் கண்டுபிடித்தார் என்று எடுத்துக்கொள்ளாதீர்கள்.

ஆர்யபடர், கணிதப் பகுதிக்கு முன்னதாக கீதிகப் பகுதியில் கோணவியல் பட்டியல் ஒன்றைக் கொடுக்கிறார். சூரிய சித்தாந்தத்திலும் இதே பட்டியல் உள்ளது. எதிலிருந்து எதற்குப் போனது என்பதில் இருவேறுபட்ட கருத்துகள் உள்ளன. இந்தப் பட்டியல் என்ன சொல்கிறது என்று முதலில் பார்ப்போம்.

இந்தியக் கணிதத்தில் எண்களைக் குறிப்பிட பூத சங்க்யா என்ற ஒரு முறை இருந்தது. பாடல் வடிவில் எண்களைக் கொடுக்கவேண்டும்; அதே நேரம் தளை தட்டாமல் இதனைச் செய்யவேண்டும். இதற்காகவே உருவாக்கப்பட்டதுதான் இந்த பூத சங்க்யா. எடுத்துக்காட்டாக, கண் என்றால் அது இரண்டைக் குறிப்பிடும். ஏனெனில் மனிதர்களுக்கு இரண்டு கண்கள். பூமி என்றால் ஒன்று. ஏனெனில் ஒரே ஒரு பூமிதான். அதேபோல், சூரியன் என்றாலும் ஒன்று, சந்திரன் என்றாலும் ஒன்று. ஆகாயம் என்பது சூன்யத்தை (0) குறிக்கும். சுவை என்றால் ஆறு. மலை என்றால் ஏழு. இதில் பல, கலாசாரத்தோடும் தொன்மங்களோடும் தொடர்புகொண்டவை. இதனால்தான் நான் இந்த எண் முறையைப் பற்றிப் பெரிதாக இந்தத் தொடரில் பேசவில்லை.

ஆர்யபடர், இந்தவகை எண்களையும் பயன்படுத்தினார். கூடவே தனக்கென சொந்தமாக ஓர் எண் முறையை சமஸ்கிருத எழுத்துகளைக் கொண்டு உருவாக்கிப் பயன்படுத்திக்கொண்டார். ஆனால் ஆர்யபடருக்குப்பின் வேறு யாருமே அவருடைய எண் முறையை எடுத்துக்கொள்ளவில்லை. அவர்கள் பூத சங்க்யா முறையை மட்டுமே பயன்படுத்தினர். ஆர்யபடரின் எண் முறையை விளக்க, சமஸ்கிருத வர்க எழுத்துகளைக் கொண்டுவரவேண்டும். தமிழில் அவற்றுக்கான நேரடி எழுத்துகள் இல்லை என்பதால் எண் குறிகளையும் சேர்த்துக்கொள்கிறேன்.

தமிழில் ஒரே ஒரு ‘க’தான். சமஸ்கிருதத்தில் (இந்தியாவின் பிற அனைத்து மொழிகளிலும்) நான்கு ‘க’க்கள். எனவே சமஸ்கிருதத்தை எழுதத் தேவையான எழுத்துகள் இவ்வாறு இருக்கும்:

உயிர் எழுத்துகள்: அ, ஆ, இ, ஈ, உ, ஊ, க்ரு, க்லு, எ, ஐ, ஒ, ஔ [ஏ, ஓ ஆகியவை கிடையா. க்ரு, க்லு ஆகியவை ஒற்றை எழுத்துகள்]

அகர உயிர்மெய்:
க1, க2, க3, க4, ங
ச1, ச2, ச3, ச4, ஞ
ட1, ட2, ட3, ட4, ண
த1, த2, த3, த4, ந
ப1, ப2, ப3, ப4, ம
ய, ர, ல, வ
ஶ, ஷ, ஸ, ஹ

ஆரியபடர், ‘க1’ முதல் ‘ம’ வரையிலான எழுத்துகளுக்கு 1 முதல் 25 வரை வரிசையாக மதிப்பு ஏற்றினார். இதன்படி,

ட3 என்றால் 13. ந என்றால் 20. ய=30, ர=40, ல=50, வ=60, ஶ=70, ஷ=80, ஸ=90, ஹ=100.

அடுத்து, உயிர் எழுத்தில், ஆ, ஈ, ஊ என்னும் நெடில்களை விட்டுவிட்டு, மற்றவற்றுக்கு பத்தின் மடங்குகளாக மதிப்பளித்தார்.

அ=1, இ=100=10^2, உ=10^4, க்ரு = 10^6, க்லு=10^8, எ=10^10, ஐ=10^12, ஒ=10^14, ஔ=10^16

இப்போது 225 என்ற ஓர் எண் வேண்டும் என்றால், 25+200 = 25+2*100 = ம+ (க2)(இ)=மகி2. (இதனை மகி-இரண்டு என்று படிக்கக்கூடாது. ஆங்கில உச்சரிப்பில் makhi என்று வருமாறு இரண்டாவது ‘க’ உச்சரிப்பில் இருக்குமாறு படிக்கவேண்டும். 224 என்றால் 24+2*100=ப4+(க2)(இ)=ப4கி2 = bhakhi. இவற்றை வைத்துக்கொண்டு, ஆர்யபடர், ஒரு பட்டியல் தருகிறார். அது இப்படிச் செல்கிறது.

மகி2 ப4கி2 ப2கி2 த4கி2 ணகி2 ஞகி2 ஙகி2 ஹஸ்ச4 ஸ்க1கி1 கி1ஷ்க3 ஶ்க4கி1 கி1க்4வ

க்4லகி1 கி1க்3ர ஹக்1ய த4கி1 கி1ச1 ஸ்க3 ஶ்ச4 ங்வ க்1ல ப்1த1 ப2 ச2 க1லார்த4ஜ்யா

இதைப் படித்தால் தலைதான் சுற்றும். இதன் பொருள், 225 ‘வட்ட நிமிட’ கோணக்கணக்கில் ‘அர்த ஜ்யா’வானது, 225, 224, 222, 219, 215, 210, 205, 199, 191, 183, 174, 164, 154, 143, 131, 119, 106, 93, 79, 65, 51, 37, 22, 7 என்ற வித்தியாசங்களில் அதிகரிக்கும்.

அர்த ஜ்யா என்றால் என்ன? இந்த வட்ட நிமிடக் கணக்கு எதைக் குறிக்கிறது? இந்தப் பட்டியலின் பொருள் என்ன?

இவற்றைச் சிறிது சிறிதாக உடைத்துப் பார்ப்போம்.

இந்தியர்கள் ஒரு முழு வட்டத்தைச் சுற்றிவரும் கோணத்தை, இன்று நாம் பார்ப்பதுபோல 0 முதல் 360 பாகை (Degree) வரைதான் கணக்கிட்டனர். இது சுமேரியாவிலிருந்து வருவது. எவ்வழியில் இந்தக் கருத்து இந்தியாவுக்குள் நுழைந்தது என்பது தெரியவில்லை. அதேபோல 1 பாகை கோணத்தை 60 வட்ட நிமிடங்களாகவும் ஒரு நிமிடத்தை 60 வட்ட விநாடிகளாகவும் பிரித்தனர். ஒரு வட்டம் என்பது 360 பாகைகள் என்றால் 360×60 வட்ட நிமிடங்கள் = 21,600 வட்ட நிமிடங்கள்.

பின்னாள்களில், நாம் கோணத்தைக் கணக்கிட ரேடியன் என்று மிகச் சிறப்பான அலகை உருவாக்குவோம். ஆனால் கிட்டத்தட்ட கருத்துரீதியில் அதற்கு இணையான ஒன்றை ஆர்யபடர் உருவாக்குகிறார். கோணத்துக்கும் நீளத்துக்கும் இணை இருக்கும்படியாக. ரேடியன் என்பதும் அதையொட்டியதுதான் என்பதை விஷயம் தெரிந்தவர்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள்.

ஆர்யபடர் என்ன செய்தார்? தன் வட்டத்தின் சுற்றளவானது 21,600 என்று இருக்கவேண்டும் என்றால் தன் வட்டத்தின் ஆரம் (Radius) என்னவாக இருக்கவேண்டும் என்று பார்த்தார். இந்த 21,600 என்பது வேறு ஒன்றும் இல்லை, வட்ட நிமிடங்களாக கோணத்தை எடுத்துக்கொண்டால் வட்டத்தை ஒருமுறை சுற்றிவர ஆவதுதான்.

ஆர்யபடர் பை என்பதற்கான மதிப்பையும் கொடுத்திருந்தார் – அது 3.1416 ஆகும். எனவே,

2 \pi R = (2)(3.1416) R = 21600

அல்லது, R = 3437.7 \approx 3438

ஆக, ஆர்யபடரின் மேஜிக் வட்டத்தின் ஆரம் 3438 என்பதாகும். இந்த ஆரம் கொண்ட வட்டத்தில், நீங்கள் ஒரு பாகை (1 டிகிரி) நகர்ந்தால், அதாவது 60 வட்ட நிமிடங்கள் நகர்ந்தால், அதன் சுற்றளவில் நீங்கள் 60 என்னும் நீளத்தைக் கடந்திருப்பீர்கள் (தோராயமாக). 21600 வட்ட நிமிடங்கள் சுற்றிவந்தால், தோராயமாக 21600 என்னும் நீளத்தைக் கடந்திருப்பீர்கள்.

இந்த வட்டத்தைக் கையில் வைத்துக்கொள்வோம். அடுத்த வாரம், அர்த ஜ்யா என்றால் என்ன என்பதைப் பார்ப்போம்.

(தொடரும்)