ஆர்யபடரின் மேஜிக் வட்டத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். அதன் ஆரம், 3438 ஆகும். இந்த வட்டத்தை வரைந்துகொண்டு, அதில் கிடைமட்டத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் ஆரத்தை வரையுங்கள். அந்தக் கோணத்திலிருந்து செங்குத்தாக ஒரு கோடு வட்டத்தைத் தொடுமாறு இறக்குங்கள்.
மேலே உள்ள இந்தப் படத்தில் வட்டத்தின் குறிப்பிட்ட பகுதியை சிவப்பிலும் செங்குத்துக்கோட்டுப் பகுதியை நீலத்திலும் வண்ணமிட்டுள்ளேன். இதனைப் பார்க்கும்போது ‘நாண் பூட்டிய வில்’ போலத் தெரிகிறதல்லவா? நீலக்கோடுதான் வில்லின் நாண். சிவப்பு வளைவுக் கோடுதான் வில்லின் வளைந்த பகுதி.
ஆர்யபடர், நீலக்கோட்டை ‘ஜ்யா’ என்கிறார். அதில் பாதிதான் ‘அர்த ஜ்யா’ – அரை நாண். அவருடைய மேஜிக் வட்டத்தில் ஒவ்வொரு கோணத்துக்கும் இந்த அரை நாண் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடித்தால் போதும். அத்துடன் வட்டத்தில் முதல் கால்பகுதியில் இந்தக் கணக்குகளைச் செய்தாலே போதும், பிற மூன்று கால் பகுதிகளுக்கும் அவற்றை நீட்டித்துவிடலாம்.
அர்த ஜ்யாக்களை 0 தொடங்கி 90 பாகை (5400 வட்ட நிமிடம்) வரை, 225 வட்ட நிமிட இடைவெளிகளில் ஆர்யபடர் கொடுத்திருந்ததைச் சென்ற வாரம் பார்த்தோம். அதையொட்டி, இதனை எவ்வாறு நாமே கணக்கிடுவது என்பதனை உரையாசிரியர் பாஸ்கரர் விளக்குகிறார்.
வட்டத்தை 12 சம பிரிவுகளாகப் பிரிக்கச் சொல்கிறார். அதாவது கால் வட்டத்தை மூன்று பிரிவுகளாகப் பிரிப்பது (30 டிகிரி, 60 டிகிரி, 90 டிகிரி).
30 பாகைக் கோட்டில் அரை நாண் என்பது ஆரத்தில் பாதி = 1719 ஆகும். 60 டிகிரி பாகைக் கோட்டில் அரை நாண் என்னவாக இருக்கும்?
புஜகோடிகர்ண நியாயத்தின்படி, \sqrt{3438^2 - 1719^2} = 2977.4 ஆனால் பாஸ்கரர் இதனை 2977 என்று சொல்லாமல், 2978 என்கிறார்.
சரி, இதற்குமேல், 15 பாகைக்கு அரை நாண் கண்டுபிடிக்கவேண்டும் என்றால் என்ன செய்வது? வெறும் புஜகோடிகர்ண நியாயம் போதும்!
மேலே உள்ள படத்தை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். நாம் கண்டுபிடிக்கவேண்டியது AD-யின் நீளத்தை. AB = 1719, OA = 3438. எனவே OB = 2978 (பாஸ்கரர் கணக்குப்படி).
எனவே, BC = OC - OB = 3438 - 2978 = 460
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1719^2 + 460^2எனவே, AC = 2 (AD) = 1780
அல்லது, AD = 890.
15 பாகையின் அர்தஜ்யா – அரை நாண் = 890. சென்ற வாரம் ஆர்யபடர் கொடுத்த பட்டியலில் சென்று பார்த்தீர்களானால் இதுதான் உங்களுக்குக் கிடைக்கும். சரி, இதில் பாதியான 7.5 பாகைக்கு அரை நாண் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? கண்ணை மூடிக்கொண்டு கீழ்க்கண்ட கணக்கைச் செய்யுங்கள்.
முதலில் அர்தஜ்யாவிலிருந்து கோடிஜ்யா கண்டுபிடியுங்கள். கோடிஜ்யா என்பது \sqrt{(3438^2-890^2)} = 3321
அடுத்து, உத்க்ரம-ஜ்யாவைக் கண்டுபிடியுங்கள் = 3438-3321 = 117
அடுத்து, \sqrt{(890^2+117^2)} = 898
அடுத்து, மேலே உள்ளதில் பாதியைக் கண்டுபிடியுங்கள் 898/2 = 449. இதுதான் 7.5 பாகையின் அர்த-ஜ்யா.
இதை மீண்டும் செய்தால் கிடைப்பது 3.25 பாகைக்கான அர்த-ஜ்யா – அது 225 என்று வரும். முதலாம் ஆர்யபடர் அத்துடன் நின்றுவிடுகிறார். ஆனால் அதற்குமேலும் செல்லலாம் என்கிறார்.
பாஸ்கரர் இவ்வாறு தொடர்ந்து ஆர்யபடர் பட்டியல் கொடுத்த பிற கோணங்களுக்கும் அர்தஜ்யாவை விரிவாகவே செய்துகாட்டுகிறார்.
பின்னர் வந்த இரண்டாம் ஆர்யபடர் 1 டிகிரியில் தொடங்கி, ஒவ்வொரு டிகிரியாக மேலே செல்லுமாறு 90 டிகிரிவரை பட்டியல் தருகிறார்.
இவற்றைச் செய்ய வெறும் புஜகோடிகர்ண நியாயம் போதும் என்பதுதான் இதில் சுவையான விஷயமே.
ஆர்யபடர் இத்துடன் விடுவதாக இல்லை. அர்தஜ்யாவைக் கொண்டு மேலும் சில விஷயங்களைச் சொல்கிறார். அடுத்தவாரம் பார்ப்போம்.
(தொடரும்)