ஏதாவது ஒரு நான்கு இலக்க எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அதை ஏறுவரிசையிலும் இறங்குவரிசையிலும் எழுதுங்கள். பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழியுங்கள். கிடைத்த விடையில் இதே முறையை மீண்டும் தொடருங்கள். சில முயற்சிகளுக்குப் பிறகு, அதிகபட்சம் ஏழு முயற்சிகளுக்குள் விடை 6174 என்று வரும்.
உதாரணமாக, 3542 என்கிற நான்கு இலக்க எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம். இதை இறங்குவரிசையில் 5432 என்றும், இறங்குவரிசையில்ஏறுவரிசையில் 2345 என்றும் எழுதலாம். இப்போது பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழிக்கும்போது 5432 – 2345 = 3087 என்கிற விடை கிடைக்கும். இதே முறையை மீண்டும் தொடரும்போது 8730 – 0378 = 8352 என்றும், மீண்டும் தொடரும்போது 8532 – 2358 = 6174 என்றும் விடை கிடைக்கும். இந்த வகையில், எந்த நான்கு இலக்க எண்ணாக இருந்தாலும் இதே முறையைப் பின்பற்றும்போது அதிகபட்சம் ஏழு முயற்சிகளுக்குள் 6174 என்கிற விடை வந்துவிடும். எத்தனை நான்கு இலக்க எண்களைக் கொண்டு இந்த முறையை முயற்சி செய்தாலும், இந்த 6174 என்கிற எண் மாறாது.
ஆனால், இதற்கு ஒரே நிபந்தனை, எடுத்துக்கொள்ளப்படும் நான்கு இலக்க எண்ணின் நான்கு இலக்கங்களும் ஒரே எண்ணாக இருக்கக் கூடாது. உதாரணமாக, 7777, 5555 போன்ற எண்கள். அப்படி இருந்தால், அவற்றை ஏறுவரிசை, இறங்குவரிசை என்று பிரித்து எழுத முடியாது. இதனால், அதே எண்ணிலிருந்து அதே எண்ணைக் கழிக்கும்போது பூஜ்ஜியம்தான் வரும். 7777 – 7777 = 0. அதேபோல், 1000 என்ற எண்ணும் இந்த விதிக்கு உட்படாது. காரணம், 1000 என்ற எண்ணை ஏறுவரிசையிலும் இறங்குவரிசையிலும் எழுதி, பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழிக்கும்போது 1000 – 0001 = 999 என்கிற எண் கிடைக்கும். மீண்டும் இந்த எண்ணை (999) அதே எண்ணால் (999) கழிக்கும்போது 0 தான் வரும். மற்ற எல்லா நான்கு இலக்க எண்களுக்கும் இந்த விதி பொருந்தும். இதற்கு கப்ரேக்கர் மாறிலி (Kaprekar’s Constant) என்று பெயர். இந்த மாறிலியைக் கண்டுபிடித்தவர், இளங்கலைப் பட்டத்தை மட்டுமே பெற்ற ஓர் இந்தியக் கணிதவியலாளர். அவரது பெயர் தத்தராய ராமச்சந்திர கப்ரேக்கர். சுருக்கமாக டி.ஆர். கப்ரேக்கர்.
இந்தியாவின் சப்போட்டா பழ உற்பத்திக்கு மிகவும் பெயர் பெற்ற பகுதி தகானு. இது மகாராஷ்டிரா மாநிலம், பால்கர் மாவட்டத்தில், அரபிக் கடற்கரையோரம் அமைந்துள்ள ஒரு கடற்கரை நகரமாகும். இந்த நகரத்தில் 17 ஜனவரி 1905 அன்று டி.ஆர். கப்ரேக்கர் பிறந்தார். இவரது தந்தையின் பெயர் ராமச்சந்திரதேவ் கப்ரேக்கர். தாயார் ஜானகிபாய். டி.ஆர். கப்ரேக்கருக்கு 8 வயது இருக்கும்போதே அவருடைய தாய் இறந்துவிட்டார். இதனால், அவர் தந்தையின் அரவணைப்பிலேயே வளர்ந்தார். ஓர் அலுவலகத்தில் எழுத்தராகப் பணிபுரிந்த அவருடைய தந்தைக்கு ஜோதிடத்தின் மீது மிகுந்த ஆர்வம் இருந்தது. இதனாலேயே கப்ரேக்கருக்கும் ஜோதிடத்தின் மீதும், அது சார்ந்த எண்களின் மீதும் சிறுவயதில் இருந்தே ஆர்வம் இருந்தது. கப்ரேக்கரின் தந்தை அலுவல் பணியின் காரணமாக மும்பையில் உள்ள தானேவுக்கு மாற்றலாகிச் சென்றதால், அங்குள்ள நகராட்சிப் பள்ளியில் தனது பள்ளிப் படிப்பைத் தொடங்கினார் கப்ரேக்கர்.
சிறுவயதிலிருந்தே எண்களின் மீது ஆர்வம்கொண்ட கப்ரேக்கர், தனது குழந்தைப் பருவத்தின் பெரும்பாலான காலத்தைக் கணிதப் புதிர்களைத் தீர்ப்பதிலும், அது தொடர்பான விளையாட்டுகளிலுமே கழித்தார். அவருக்குக் கணிதத்தில் ஆர்வம் ஏற்பட மிக முக்கியக் காரணமாக இருந்தவர், அவரது கணித ஆசிரியர் கணபதி. அவர்தான் அவருக்குக் கணக்குப் புதிர்களையும், பெருக்கல்களைச் சுருக்கமாகப் போடும் வழிமுறைகளையும் சொல்லிக் கொடுத்தார். இதுவே அவருக்கான தூண்டுகோலாக அமைந்தது. அதன்பிறகு, கப்ரேக்கர் தாமாகவே முனைந்து எண்களின் சிறப்பு இயல்புகளைக் கண்டறியத் தொடங்கினார்.
பூனேவில் மிகவும் புகழ்பெற்ற பெர்குசன் கல்லூரியில் 1923ஆம் ஆண்டில் இன்டர்மீடியட் படிப்பில் சேர்ந்தார் கப்ரேக்கர். அங்கு பயின்றபோதுதான், கணிதத்தில் அவர் வெளிப்படுத்திய அசாதாரணத் திறமை மற்றும் தனித்துவமான ஆய்வுப் பணிக்காக 1927ஆம் ஆண்டில் ‘ரேங்களர் ஆர்.பி. பராஞ்பியே கணிதப் பரிசு’ எனும் விருது அவருக்கு வழங்கப்பட்டது. அதன்பின், 1929ஆம் ஆண்டு இந்தியாவின் மிகப் பழமையான மற்றும் உலகப் புகழ்பெற்ற பல்கலைக்கழகங்களில் ஒன்றான பம்பாய் பல்கலைக்கழகத்தில் பி.எஸ்.சி. பட்டம் பெற்றார்.
இதன் பின்னர், மகாராஷ்டிர மாநிலம், நாசிக் மாவட்டத்தில் உள்ள தேவ்லாலி எனும் பகுதியில் இருந்த அரசுப் பள்ளியில் கணித ஆசிரியராகப் பணியில் சேர்ந்தார் கப்ரேக்கர். சுமார் 32 ஆண்டுகள், அதாவது 1962ஆம் ஆண்டு வரை, இவர் அப்பள்ளியில் ஆசிரியராகப் பணியாற்றினார். எண்களின் அழகையும், புதிர்களையும், அவற்றின் அமைப்பையும் மாணவர்களுக்கு விளக்கி, அதன் மூலம் ஆயிரக்கணக்கான மாணவர்களுக்குக் கணிதத்தில் ஆர்வத்தை ஏற்படுத்தினார். கணிதத்தை விதிகளின் தொகுப்பாக அல்லாமல், எண்களால் அழகாக அமைக்கப்பட்ட ஒரு கலையாக முன்னிறுத்தி மாணவர்களுக்குப் பாடம் நடத்தினார். மாணவர்களுக்கு நேரடியாக விடையைச் சொல்லாமல், கேள்விகள் மற்றும் புதிர்கள் மூலம் சிந்திக்க வைத்தார். எண்களின் பண்புகள், வடிவங்கள், புதிர்கள் ஆகியவற்றை மாணவர்களே ஆராயும்படி அவர்களை ஊக்குவித்தார் கப்ரேக்கர். இத்தகைய வழிமுறையே அவருடைய கணித ஆய்வுகளுக்கு அடித்தளமாக அமைந்தது. மேலும், ஆசிரியராகப் பணியாற்றிக்கொண்டே ஆய்வுகளையும் மேற்கொண்டார்.
கணித ஆராய்ச்சியை ஊக்குவிப்பதற்காகவும் கணித அறிஞர்களை ஒன்றிணைப்பதற்காகவும் 1907ஆம் ஆண்டில் மகாராஷ்டிர மாநிலம், பூனேவில் இந்தியக் கணிதவியல் கழகம் எனும் அமைப்பு தொடங்கப்பட்டது. இந்த அமைப்பு கணிதம் தொடர்பான கருத்தரங்குகள், மாநாடுகள், போட்டிகள் ஆகியவற்றை நடத்தியது. மேலும், ‘தி ஜர்னல் ஆஃப் இந்தியன் மேத்தமேட்டிக்கல்’ மற்றும் ‘தி மேத்தமேட்டிக்ஸ் ஸ்டுடென்ட்’ என்னும் இரு கணித ஆய்வு இதழ்களை வெளியிடுகிறது. இந்தியக் கணித மேதை ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜத்தின் ஆரம்பகால ஆய்வுக் கட்டுரைகள் இந்த இதழ்களில் வெளியிடப்பட்டன. இந்தியாவின் கணித வளர்ச்சியில் இந்த அமைப்பின் பங்கு மிக முக்கியமானது.
இந்த அமைப்பில் கப்ரேக்கர் 1937ஆம் ஆண்டில் ஆயுள் கால உறுப்பினராகச் சேர்ந்தார். தன் கண்டுபிடிப்புகளை இந்த அமைப்பின் ஆண்டு கூட்டங்களிலும், கருத்தரங்குகளிலும், ஆய்விதழ்களிலும் வெளியிட்டார்.
இந்நிலையில், கப்ரேக்கர் படித்த பம்பாய் பல்கலைக்கழகம், அவரது டெம்லோ எண்கள் (Demlo Numbers) தொடர்பான ஆராய்ச்சிக்கு நிதியுதவி வழங்கியது. ரெப்யூனிட் எண்களை வர்க்கப்படுத்தும்போது, அதில் ஒரு விதமான ஒழுங்குமுறை காணப்படுவதை அவர் ஆராய்ந்தார். ரெப்யூனிட் எண்கள் என்பவை 1 என்கிற இலக்கம் மட்டுமே தொடர்ந்து வரிசையாக அமைந்த எண்களாகும். 1, 11, 111, 1111, 11111… உள்ளிட்டவை ரெப்யூனிட் எண்களாகும். இவற்றை வர்க்கப்படுத்தும்போது, 1, 121, 12321, 1234321, 123454321 என்று ஒரு சீரான அமைப்பு தோன்றும். இதற்கு டெம்லோ எண்கள் என்று பெயர். எண்களின் அழகியலை விளக்குவதில் இந்த ஆராய்ச்சி குறிப்பிடத்தக்கது.
டெம்லோ எண்கள் என்கிற பெயரை கப்ரேக்கர் வைத்ததற்குப் பின்னால் ஒரு சுவாரஸ்யமான காரணம் உள்ளது. 1923ஆம் ஆண்டில் கப்ரேக்கர் மும்பைக்கும் டெம்லோ என்கிற ரயில் நிலையத்திற்கும் (இன்றைய டோம்பிவ்லி) இடையே தினமும் உள்ளூர் ரயிலில் பயணம் செய்வார். அந்தப் பயணங்களின்போது சரக்கு வண்டிகள், பெட்டிகள், டிக்கெட்டுகள் போன்றவற்றில் இருந்த எண்களைக் கவனித்து, அவற்றை எழுதி வைத்து, அந்த எண்களின் வடிவங்களையும் அவற்றுக்கு இடையிலான தொடர்புகளையும் ஆராயத் தொடங்குவார். இந்த ஆராய்ச்சிக்கான யோசனை அவருக்கு முதன்முதலில் தோன்றிய இடம் டெம்லோ ரயில் நிலையம் என்பதால், அவர் கண்டுபிடித்த அந்த எண்களுக்கு டெம்லோ எண்கள் என்று பெயரிட்டார்.
இதேபோல், கப்ரேக்கர் மாறிலி, கப்ரேக்கர் எண்கள், ஹர்ஷத் எண்கள், சுய எண்கள், கப்ரேக்கர் வழிமுறை என்று எண்கள் தொடர்பாகப் பல கோட்பாடுகளையும் ஆய்வுகளையும் அவர் மேற்கொண்டுள்ளார். இவரது ஆய்வுகள் பெரும்பாலும் எண்களின் மறைந்திருக்கும் வடிவங்கள் மற்றும் பண்புகள் குறித்தே இருக்கும். இவருடைய கண்டுபிடிப்புகள், எண் கோட்பாடு மற்றும் கணிதப் புதிர்கள் துறையில் முக்கியத்துவம் பெற்றுள்ளன.
கணிதம் தொடர்பான பல ஆய்வுகளை கப்ரேக்கர் செய்திருந்தாலும், அவையெல்லாம் இந்தியாவுக்கு வெளியே அதிகம் அறியப்படவில்லை. அமெரிக்காவின் புகழ்பெற்ற கணித எழுத்தாளர் மார்ட்டின் கார்ட்னர், 1956 முதல் 1981 வரை ‘மேத்தமேட்டிக்கல் கேம்ஸ்’ என்கிற புகழ்பெற்ற மாதாந்திரக் கட்டுரைத் தொடரை ‘சயிண்டிஃபிக் அமெரிக்கன்’ இதழில் எழுதி வந்தார். 1975ஆம் ஆண்டில், அந்தக் கட்டுரைத் தொடரில் கப்ரேக்கரின் ‘கப்ரேக்கர் மாறிலி’ மற்றும் பிற எண் ஆராய்ச்சிகளை அவர் அறிமுகப்படுத்தினார். அதன் பின்னரே கப்ரேக்கரின் பெயர் கணித உலகில் பரவலாக அறியப்பட்டது.
1962ஆம் ஆண்டில் தனது ஆசிரியர் பணியிலிருந்து கப்ரேக்கர் ஓய்வு பெற்றார். அவருக்குக் குழந்தைகள் இல்லை. 1966ஆம் ஆண்டு அவரது மனைவி உயிரிழந்தார். அதன்பிறகு, தன் முழு நேரத்தையும் எண்களைப் பற்றிய ஆராய்ச்சியிலேயே கப்ரேக்கர் செலவிட்டார். பணி ஓய்வுபெற்ற பின்னர் பொருளாதாரச் சிரமங்களைச் சந்தித்ததால், தனிப்பட்ட வகுப்புகளை நடத்தி, அதன் மூலம் தனது வாழ்வாதாரத்தை மேற்கொண்டார். வறுமையிலும் எண்களைப் பற்றி ஆராய்வதை அவர் நிறுத்தவில்லை.
4 ஜூலை 1986 அன்று மகாராஷ்டிராவின் தேவ்லாலி பகுதியில், 81வது வயதில் கப்ரேக்கர் காலமானார். கணிதத்தில் முனைவர் பட்டமோ முதுகலைப் பட்டமோ பெறாதிருந்தபோதிலும், எண்களின் மீது கொண்ட தனிப்பட்ட ஆர்வத்தால் 50 ஆண்டுகளுக்கும் மேலாகக் கணிதத்தில் ஆராய்ச்சி செய்து, தனது பெயரை உலகக் கணித வரலாற்றில் நிலைக்கச் செய்தார். பள்ளி முதல் பல்கலைக்கழகம் வரை எண் கணிதம் மற்றும் பொழுதுபோக்குக் கணிதம் கற்பிக்கப்படும் இடங்களில் கப்ரேக்கரின் கண்டுபிடிப்புகள் இன்றளவும் முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன.
(தொடரும்)