நாம் பள்ளியில் படிக்கும்போது சதுரம் (Square), செவ்வகம் (Rectangle), சாய்சதுரம் (Parallelogram), சரிவகம் (Trapezium) போன்றவை குறித்துப் படித்திருப்போம். ராம்பஸ் (Rhombus) எனப்படும் நான்கு பக்கமும் ஒரே அளவுள்ள, அதன் மூலைவிட்டங்கள் (diagonals) ஒன்றை ஒன்று செங்குத்தாக வெட்டும் ஒரு வடிவம், அதேபோல் பட்டம் (Kite) எனப்படும் நான்கு பக்கமும் சம அளவில்லாத, ஆனால் மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும் வடிவம் ஆகியவற்றையும் சிலர் படித்திருக்கலாம். இவை எல்லாவற்றிலும் ஓர் ஒழுங்கு உள்ள காரணத்தால் இவ்வடிவங்களின் பரப்பளவுக்கான சமன்பாட்டைத் தரமுடியும்.
ஆனால், எந்த ஒழுங்கும் இல்லாத நாற்கரம் (Quadrilateral) என்பது சிக்கலான ஒரு வடிவம். இதன் நான்கு பக்கங்களையும் கொடுத்தால் அதற்கான பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்கமுடியுமா என்பது குறித்து இந்தியர்கள் மிகவும் விவாதித்திருக்கிறார்கள்.
ஆர்யபடர், இதுகுறித்து அதிகம் யோசிக்கவில்லை. அவர் சரிவகம் பற்றி மட்டுமே பேசுகிறார். அவர் குறிப்பிடும் நாற்கரம் ஒரு சரிவகம்தான் என்று சொல்கிறார் பாஸ்கரர். அப்படிப்பட்ட சரிவகத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் வெட்டிக்கொள்ளும் இடத்தில் அந்த சரிவகத்தின் உயரத்தை அந்தப் புள்ளி இரண்டாக வெட்டும். அந்த இரண்டு துண்டுகளின் நீளத்தையும், சரிவகத்தின் பரப்பளவையும் ஆர்யபடர் தருகிறார்.
முதலில் பரப்பளவைப் பார்த்துவிடுவோம். முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் சமன்பாட்டைப் போன்றே வருவதுதான் இது.
A = \frac{a+b}{2} p
இரண்டு சாய்கோடுகளையும் அப்படியே இழுத்துக்கொண்டே போனால் மேலே ஒரு புள்ளியில் அவை ஒன்றை ஒன்று வெட்டும்.
இங்கே கீழே உள்ள சரிவகத்தின் பரப்பளவை இவ்வாறு கண்டுபிடிக்கலாம்:
A = \frac{1}{2} (p+h) a - \frac{1}{2} h b = \frac{1}{2} (pa +ah - bh)ஆனால், சிறிய முக்கரமும் பெரிய முக்கரமும் ஒப்பு முக்கரங்கள் (congruent triangles). எனவே,
\frac{p+h}{a} = \frac{h}{b}அல்லது,
pb + bh = ahஅல்லது,
ah - bh = pbஇதனை மேலே பரப்பளவுக்கான சமன்பாட்டில் பொருத்தினால்,
A = \frac{1}{2} (pa +ah - bh) = \frac{1}{2} (pa + pb) = \frac{a+b}{2} pஅடுத்து ஆர்யபடர் தருவது சரிவகத்தில் உள்ள c, d இரண்டுக்குமான சமன்பாடு.
இங்கே இரண்டு மூலைவிட்டங்களும் வெட்டிக்கொள்ளும்போது மேலும் கீழுமாக இரு முக்கரங்கள் உருவாகின்றன.
இரண்டுமே ஒப்பு முக்கரங்கள். எனவே, கீழ்க்கண்ட விகிதங்கள் இணையானவை.
\frac{d}{b} = \frac{c}{a}அதே நேரம், c+d = p
இதனை மேலே பொருத்தினால்,
d = \frac{b p}{a+b} c = \frac{a p}{a+b}***
இதனையடுத்து, பாஸ்கரர் சில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைத் தருகிறார். இவற்றுக்கான விடைகளை நீங்களே கண்டுபிடியுங்கள்:
(அ) தரை (கீழ்ப்பகுதி) 14, முகம் (மேல்பகுதி) 4, இரண்டு சாய்கரங்களும் 13. பரப்பளவைக் கண்டுபிடியுங்கள்.
(ஆ) தரை 21, முகம் 9, இரண்டு சாய்கரங்களும் 10. பரப்பளவு என்ன?
(இ) தரை 33, மற்ற மூன்று கரங்களும் 17. பரப்பளவு?
(ஈ) தரை 19, முகம் 5, இரு சாய்கரங்கள் 13, 15. பரப்பளவைக் கண்டுபிடி.
இவற்றுக்கான விடைகளை அடுத்த வாரம் பார்ப்போம். மேலும் தொடர்ந்து நாற்கரங்கள் குறித்து இந்தியாவில் நடந்த ஆராய்ச்சிகளைக் காண்போம்.
(தொடரும்)
Hi Badri, Thanks for this. It appears the reason why Bhaskara thought the calculation of area only applies to trapeziums is because the sanskrit original in Aryabhatiya gives a single formula for calculation of the height, given a base and face. The height of a trapezium will be same between the parallel sides; but that of a general quadrilateral can vary at different points. It can thus be conjectured that Aryabhata was talking about a trapezium and not a general quadrilateral?
In astronomy, mostly triangles and trapeziums are used to calculate distances. Using bhuja-koti-karna nyaaya (the Sanskrit term for Pythagoras theorem) distances were calculated. Division of inter-planetary distances or inter-stellar distances as segments of triangles or trapeziums (trapezia?) were used. Probably, the assumption of trapezeum comes from that.
Later mathematicians like Brahmagupta Mahavira and others dealt with irregular quadrilaterals also